Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 12 стр.

    Закон распределения дискретной случайной величины            Легко составить ее закон распределения:
    Дискретная случайная величина полностью определяется             Sn     0         1              2                 …i…                 n
своим законом распределения. Закон распределения (иногда его         p (1 − p) np(1 − p)
                                                                              n          n −1
                                                                                              С n p (1 − p) n−2
                                                                                                2 2
                                                                                                                  Сni p i (1 −   p) n−i   pn
называют ряд распределения) – это таблица следующего вида:
       Х        х1     х2      ...     хi      ... хn            Здесь используется формула Бернулли: P(Sn = i) = Pn(i) =
       р        р1     р2      ...     рi      ... рn            = Сni p i (1 − p) n − i .
где хi – все значения случайной величины, выстроенные в поряд-
ке возрастания, рi – соответствующие вероятности.                     Задача. В урне 2 белых и 4 черных шара. Выбираем наугад,
     Важным свойством закона распределения, часто используе-     с возвращением 2 шара. Требуется составить закон распределе-
мым для проверки, является равенство единице полной вероят-      ния случайной величины Y – количества белых шаров в этой вы-
                                                                 борке.
ности или суммы всех рi : ∑ рi = 1 .
                                                                      Решение. Очевидно, что Y = S2 биномиальная случайная ве-
    Построим закон распределения для случайных величин из        личина, при этом р = 2/6 = 1/3, 1– p = 2/3, следовательно,
рассмотренных примеров 1 и 2.                                          Y = S2               0     1                 2
    1. Случайная величина Х, возникающая при подбрасывании                   p             4/9  4/9               1/9
кубика:
       Х        1      2       3       4       5   6                    Математическое ожидание случайной величины
       р        1/6    1/6     1/6     1/6     1/6 1/6               Математическое ожидание случайной величины имеет
Отметим, что ∑ рi = 1 .                                          смысл среднего значения, вокруг которого группируются все
    2. Случайная величина Z, возникающая при подбрасывании       значения этой случайной величины, которые она может прини-
двух монет:                                                      мать. В механике – это центр тяжести системы точек. Если сис-
                                                                 тему подпереть в этой точке, то она будет находиться в равнове-
                Z        0         1       2
                                                                 сии. Нередко это значение является также и наиболее вероят-
                р        1/4       1/2     1/4                   ным, самым ожидаемым. Представим геометрический смысл
Вычисление рi проводим, подсчитывая число всех равновероят-      математического ожидания на схеме:
ных исходов, либо по формулам сложения и умножения вероят-
ностей.
                                                                    Для дискретной случайной величины Х математическое
      Биномиально распределенные случайные величины
                                                                 ожидание определяется и вычисляется по формуле:
    Рассмотрим ситуацию повторения некоторых фиксирован-                                                               n
ных испытаний. В каждом из этих n одинаковых опытов случай-                  М(Х) = х1 р1 + х2 р2 + ... + хn рn =    ∑ xi рi .                 (2)
ное событие А может произойти с вероятностью р, а может и не                                                         i =1
произойти с вероятностью 1–р. Введем случайную величину Sn           Замечание. Само математическое ожидание не является
как количество появлений события А в этой цепочке испытаний      случайной величиной. Для вычисления математического ожида-
(или как число опытов, в которых событие А произошло). Такая     ния достаточно знать закон распределения случайной величины.
дискретная случайная величина называется распределенной по           Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной ве-
биномиальному закону или биномиальной случайной величиной.       личины Х – значения грани, выпавшей на кубике. Используя по-
                             25                                                                     26