Составители:
Рубрика:
23
Говорят, что гипотезы
Н
i
образуют полную группу событий, т.е. их
попарные произведения невозможны, а в сумме они дают все
Ω.
Пример. На фабрике первый станок производит 25 % дета-
лей, второй – 35 %, а третий – 40 %. Брак в их продукции со-
ставляет соответственно 5, 4 и 3 %. Какова вероятность, что слу-
чайно отобранная на складе готовой продукции деталь дефектна?
Решение. Введем гипотезы и найдем их вероятности:
Н
1
= {взятая деталь изготовлена на 1-м станке}, P(Н
1
) = 0.25,
Н
2
= {взятая деталь изготовлена на 2-м станке}, P(Н
2
) = 0.35,
Н
3
= {взятая деталь изготовлена на 3-м станке}, P(Н
3
) = 0.4. Счи-
тая, что
А = {взятая деталь дефектна}, вычислим условные веро-
ятности:
P(A/Н
1
) = 0.05, P(A/Н
2
) = 0.04, P(A/Н
3
) = 0.03.
Образуют ли гипотезы
Н
i
полную группу событий? – Да.
Тогда для нахождения
Р(А) можно применить формулу полной
вероятности:
Р(А) = 0.25 · 0.05 + 0.35 · 0.04 + 0.4 · 0.03 = 0.0385.
Пример. Человек одет в костюм, имеющий два кармана:
правый и левый. В правом кармане 5 десятирублевых купюр и 3
сторублевые купюры. В левом кармане – 9 десятирублевых ку-
пюр и 2 сторублевые купюры. Найти вероятность того, что вы-
брав наугад карман и достав из него случайным образом купю-
ру, он вынет «десятку». Изменится ли вероятность, если
перед
выниманием мы все купюры из обоих карманов переложим в
один?
Решение. Введем гипотезы и найдем их вероятности:
Н
1
= {выбран правый карман}, P(Н
1
) = 0.5, Н
2
= {выбран
левый карман},
P(Н
2
) = 0.5. Считая, что А = {взятая купюра –
«десятка»}, вычислим условные вероятности:
P(A/Н
1
) = 5/8,
P(A/Н
2
) = 9/11. Так как гипотезы Н
i
образуют полную группу со-
бытий, то можно применить формулу полной вероятности:
Р(А) = 0.5 · 5 / 8 + 0.5 · 9 / 11 = 0.722.
Вопросы для самопроверки
1. В какой ситуации применима формула Бернулли?
2.
Дать определение основных параметров формулы Бер-
нулли
n, p, i.
3.
Что называется полной группой событий?
24
4.
Сформулировать формулу полной вероятности.
5.
Чем гипотезы в формуле полной вероятности отличают-
ся от элементарных исходов?
1.4. Дискретные случайные величины
Ранее нами были изучены свойства случайных событий.
Имеется частный класс испытаний и случайных событий, когда
каждому результату опыта, каждому элементарному исходу
можно сопоставить некоторое определенное
число.
Случайной величиной называется вещественная функция,
определенная на пространстве элементарных исходов
Ω:
Х : RХ
ii
∈
→ )(
ω
ω
.
Будем обозначать случайные величины большими буквами, на-
ходящимися в конце латинского алфавита.
Пример 1. При подбрасывании кубика естественным обра-
зом возникает случайная величина
Х = {значения, которые могут
выпасть на кубике} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Пример 2. Пусть опыт состоит в подбрасывании двух мо-
нет. Будем фиксировать число выпавших гербов. Получим слу-
чайную величину
Z, имеющую значения: Z = {0, 1, 2}.
Дискретной случайной величиной называется случайная ве-
личина, имеющая конечное число значений (в общем случае к
классу дискретных относят и случайные величины, имеющие
бесконечное число значений, но которые можно перенумеровать
с помощью натурального ряда. Говорят, что такие случайные
величины имеют счетное число значений). Безусловно, в рас-
смотренных примерах мы имеем дело с
дискретными случайны-
ми величинами.
Непрерывной случайной величиной называется случайная ве-
личина, значения которой сплошным образом покрывают некото-
рый интервал (кроме этого требуется выполнение еще некоторых
условий, которые мы рассмотрим далее). Примером такой слу-
чайной величины является температура, замеренная в какой-либо
точке пространства. Ее значения изменяются непрерывным обра-
зом. Другой пример – вес случайно взятого человека.
Говорят, что гипотезы Нi образуют полную группу событий, т.е. их 4. Сформулировать формулу полной вероятности.
попарные произведения невозможны, а в сумме они дают все Ω. 5. Чем гипотезы в формуле полной вероятности отличают-
Пример. На фабрике первый станок производит 25 % дета- ся от элементарных исходов?
лей, второй – 35 %, а третий – 40 %. Брак в их продукции со-
ставляет соответственно 5, 4 и 3 %. Какова вероятность, что слу- 1.4. Дискретные случайные величины
чайно отобранная на складе готовой продукции деталь дефектна?
Решение. Введем гипотезы и найдем их вероятности: Ранее нами были изучены свойства случайных событий.
Н1 = {взятая деталь изготовлена на 1-м станке}, P(Н1) = 0.25, Имеется частный класс испытаний и случайных событий, когда
Н2 = {взятая деталь изготовлена на 2-м станке}, P(Н2) = 0.35, каждому результату опыта, каждому элементарному исходу
Н3 = {взятая деталь изготовлена на 3-м станке}, P(Н3) = 0.4. Счи- можно сопоставить некоторое определенное число.
тая, что А = {взятая деталь дефектна}, вычислим условные веро- Случайной величиной называется вещественная функция,
ятности: P(A/Н1) = 0.05, P(A/Н2) = 0.04, P(A/Н3) = 0.03. определенная на пространстве элементарных исходов Ω:
Образуют ли гипотезы Нi полную группу событий? – Да. Х : ω i → Х (ω i ) ∈ R .
Тогда для нахождения Р(А) можно применить формулу полной Будем обозначать случайные величины большими буквами, на-
вероятности: Р(А) = 0.25 · 0.05 + 0.35 · 0.04 + 0.4 · 0.03 = 0.0385. ходящимися в конце латинского алфавита.
Пример. Человек одет в костюм, имеющий два кармана: Пример 1. При подбрасывании кубика естественным обра-
правый и левый. В правом кармане 5 десятирублевых купюр и 3 зом возникает случайная величина Х = {значения, которые могут
сторублевые купюры. В левом кармане – 9 десятирублевых ку- выпасть на кубике} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
пюр и 2 сторублевые купюры. Найти вероятность того, что вы- Пример 2. Пусть опыт состоит в подбрасывании двух мо-
брав наугад карман и достав из него случайным образом купю- нет. Будем фиксировать число выпавших гербов. Получим слу-
ру, он вынет «десятку». Изменится ли вероятность, если перед чайную величину Z, имеющую значения: Z = {0, 1, 2}.
выниманием мы все купюры из обоих карманов переложим в Дискретной случайной величиной называется случайная ве-
один? личина, имеющая конечное число значений (в общем случае к
Решение. Введем гипотезы и найдем их вероятности: классу дискретных относят и случайные величины, имеющие
Н1 = {выбран правый карман}, P(Н1) = 0.5, Н2 = {выбран бесконечное число значений, но которые можно перенумеровать
левый карман}, P(Н2) = 0.5. Считая, что А = {взятая купюра – с помощью натурального ряда. Говорят, что такие случайные
«десятка»}, вычислим условные вероятности: P(A/Н1) = 5/8, величины имеют счетное число значений). Безусловно, в рас-
P(A/Н2) = 9/11. Так как гипотезы Нi образуют полную группу со- смотренных примерах мы имеем дело с дискретными случайны-
бытий, то можно применить формулу полной вероятности: ми величинами.
Р(А) = 0.5 · 5 / 8 + 0.5 · 9 / 11 = 0.722. Непрерывной случайной величиной называется случайная ве-
личина, значения которой сплошным образом покрывают некото-
Вопросы для самопроверки рый интервал (кроме этого требуется выполнение еще некоторых
1. В какой ситуации применима формула Бернулли? условий, которые мы рассмотрим далее). Примером такой слу-
2. Дать определение основных параметров формулы Бер- чайной величины является температура, замеренная в какой-либо
нулли n, p, i. точке пространства. Ее значения изменяются непрерывным обра-
3. Что называется полной группой событий? зом. Другой пример – вес случайно взятого человека.
23 24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
