Составители:
Рубрика:
21
Р(С) = Р(А
1
·
2
А ·
3
А +
1
А · А
2
·
3
А
+
1
А ·
2
А · А
3
) = {по тео-
реме сложения вероятностей для несовместных событий}
=
Р(А
1
·
2
А
·
3
А
) + Р(
1
А
· А
2
·
3
А
) + Р(
1
А
·
2
А
· А
3
) = {по теореме
умножения вероятностей для независимых событий} =
Р(А
1
) ·
· Р
(
2
А ) · Р(
3
А ) + Р(
1
А ) · Р(А
2
) · Р(
3
А ) + Р(
1
А ) · Р(
2
А ) · Р(А
3
) =
= 0.9 · 0.2 · 0.4 + 0.1 · 0.8 · 0.4 + 0.1 · 0.2 · 0.6 = 0.072 + 0.012 + 0.032 =
= 0.116.
Р(D) = Р(
1
А ·
2
А ·
3
А ) = {по теореме умножения вероятностей
для независимых событий} =
Р(
1
А ) · Р(
2
А ) · Р(
3
А ) = 0.1·0.2·0.4 =
= 0.008.
Замечание. Последняя из найденных вероятностей позволя-
ет, применяя формулу для вероятности противоположного собы-
тия, легко найти вероятность события
Е = {цель поражена}.
Р(Е) = 1 – Р(
Е
) = 1 – Р(D) = 1–0.008 = –0.992, так как
Е
= D.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулировать теорему сложения вероятностей (от-
дельно для случая несовместных событий).
2.
Как вычислить вероятность противоположного события?
3.
Какая вероятность называется условной?
4.
Сформулировать теорему умножения вероятностей.
5.
Дать определение независимости случайных событий.
6.
Дать определение независимости событий через вероят-
ности и условные вероятности.
7.
Сформулировать теорему умножения вероятностей для
независимых событий.
1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности
Повторение испытаний. Формула Бернулли
Предположим, что один и тот же опыт производится при
неизменных условиях
n раз. В каждом из этих опытов случайное
событие
А может произойти с вероятностью р и не произойти с
вероятностью, соответственно,
q = (1–p). Вероятность того, что
22
в этих
n испытаниях событие А произойдет ровно i раз (0 ≤ i ≤ n)
вычисляется по формуле Бернулли:
Р
n
(i) =
inii
n
ppС
−
− )1(.
Задача. Найти вероятность, что при 10 подбрасываниях мо-
неты мы получим ровно 5 гербов.
Решение. А = {выпадение герба в одном, единичном испы-
тании},
р = 0.5, q = 0.5, n = 10, i = 5.
Р
10
(5) =
51055
10
)5.01(5.0
−
−С = 36 · 7/2
10
= 0.245.
Ценность формулы Бернулли состоит в том, что она дает от-
вет, когда из-за слишком большого числа элементарных исходов
обычные комбинаторные способы подсчета вариантов неприме-
нимы.
Задача. В мастерской работают 12 мастеров. Вероятность
того, что мастер находится на рабочем месте равна 0.8. Найти
вероятность того, что, случайно зайдя в мастерскую, мы заста-
нем на рабочих местах не менее 10 мастеров.
Решение. Введем случайные события:
А
1
= {на рабочем месте 10 мастеров}, P(А
1
) = Р
12
(10), А
2
= {на
рабочем месте 11 мастеров},
P(А
2
) = Р
12
(11), А
3
= {на рабочем
месте 12 мастеров},
P(А
3
) = Р
12
(12).
А = А
1
+ А
2
+ А
3
. Р(А) = Р(А
1
+ А
2
+ А
3
) = {по теореме сложения
вероятностей для несовместных событий} =
Р(А
1
) + Р(А
2
) + Р(А
3
) =
= {применяя формулу Бернулли} =
Р
12
(10) + Р
12
(11) + Р
12
(12) =
=
10121010
12
)8.01(8.0
−
−С +
11111
12
)2.0(8.0С +
01212
12
)2.0(8.0С =
= 66
· 0.8
10
· 0.04+ 12 · 0.8
11
· 0.2 + 0.8
12
= 66 · 0.107 · 0.04+12 · 0.086 · 0.2 +
+0.069 = 0.558.
Формула полной вероятности
Пусть требуется найти вероятность случайного события А.
При этом известно, что все пространство элементарных исходов
Ω можно разложить на несколько взаимоисключающих, несо-
вместных
гипотез: Ω = Н
1
+ Н
2
+ Н
3
+ … (считаем, к примеру,
что гипотез – 3). Тогда имеет место формула полной вероятно-
сти:
P(A) = P(Н
1
) · P(A/Н
1
) + P(Н
2
) · P(A/Н
2
) + P(Н
3
) · P(A/Н
3
).
Р(С) = Р(А1 · А2 · А3 + А1 · А2 · А3 + А1 · А2 · А3) = {по тео- в этих n испытаниях событие А произойдет ровно i раз (0 ≤ i ≤ n)
реме сложения вероятностей для несовместных событий} вычисляется по формуле Бернулли:
= Р(А1 · А2 · А3 ) + Р( А1 · А2 · А3 ) + Р( А1 · А2 · А3) = {по теореме Рn(i) = Сni p i (1 − p) n − i .
умножения вероятностей для независимых событий} = Р(А1) · Задача. Найти вероятность, что при 10 подбрасываниях мо-
· Р( А2 ) · Р( А3 ) + Р( А1 ) · Р(А2) · Р( А3 ) + Р( А1 ) · Р( А2 ) · Р(А3) = неты мы получим ровно 5 гербов.
Решение. А = {выпадение герба в одном, единичном испы-
= 0.9 · 0.2 · 0.4 + 0.1 · 0.8 · 0.4 + 0.1 · 0.2 · 0.6 = 0.072 + 0.012 + 0.032 = тании}, р = 0.5, q = 0.5, n = 10, i = 5.
= 0.116.
Р10(5) = С105 0.55 (1 − 0.5)10 − 5 = 36 · 7/210 = 0.245.
Р(D) = Р( А1 · А2 · А3 ) = {по теореме умножения вероятностей
Ценность формулы Бернулли состоит в том, что она дает от-
для независимых событий} = Р( А1 ) · Р( А2 ) · Р( А3 ) = 0.1·0.2·0.4 = вет, когда из-за слишком большого числа элементарных исходов
= 0.008. обычные комбинаторные способы подсчета вариантов неприме-
Замечание. Последняя из найденных вероятностей позволя- нимы.
ет, применяя формулу для вероятности противоположного собы- Задача. В мастерской работают 12 мастеров. Вероятность
тия, легко найти вероятность события Е = {цель поражена}. того, что мастер находится на рабочем месте равна 0.8. Найти
Р(Е) = 1 – Р( Е ) = 1 – Р(D) = 1–0.008 = –0.992, так как Е = D. вероятность того, что, случайно зайдя в мастерскую, мы заста-
нем на рабочих местах не менее 10 мастеров.
Вопросы для самопроверки Решение. Введем случайные события:
1. Сформулировать теорему сложения вероятностей (от- А1 = {на рабочем месте 10 мастеров}, P(А1) = Р12(10), А2 = {на
дельно для случая несовместных событий). рабочем месте 11 мастеров}, P(А2) = Р12(11), А3 = {на рабочем
2. Как вычислить вероятность противоположного события? месте 12 мастеров}, P(А3) = Р12(12).
3. Какая вероятность называется условной? А = А1 + А2 + А3. Р(А) = Р(А1 + А2 + А3) = {по теореме сложения
4. Сформулировать теорему умножения вероятностей. вероятностей для несовместных событий} = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) =
5. Дать определение независимости случайных событий. = {применяя формулу Бернулли} = Р12(10) + Р12(11) + Р12(12) =
6. Дать определение независимости событий через вероят- 10
= С12 0.810 (1 − 0.8)12−10 + С12 11
0.811 (0.2)1 + С12 12
0.812 (0.2) 0 =
ности и условные вероятности. = 66 · 0.810 · 0.04+ 12 · 0.811 · 0.2 + 0.812 = 66 · 0.107 · 0.04+12 · 0.086 · 0.2 +
7. Сформулировать теорему умножения вероятностей для +0.069 = 0.558.
независимых событий.
Формула полной вероятности
1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Пусть требуется найти вероятность случайного события А.
При этом известно, что все пространство элементарных исходов
Повторение испытаний. Формула Бернулли Ω можно разложить на несколько взаимоисключающих, несо-
Предположим, что один и тот же опыт производится при вместных гипотез: Ω = Н1 + Н2 + Н3 + … (считаем, к примеру,
неизменных условиях n раз. В каждом из этих опытов случайное что гипотез – 3). Тогда имеет место формула полной вероятно-
событие А может произойти с вероятностью р и не произойти с сти:
вероятностью, соответственно, q = (1–p). Вероятность того, что P(A) = P(Н1) · P(A/Н1) + P(Н2) · P(A/Н2) + P(Н3) · P(A/Н3).
21 22
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
