Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 8 стр.

     1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей                        Обобщенная теорема умножения вероятностей
                                                                          Р(А1 · А2 · А3·… · Аn) = Р(А1) ·Р(А2 / А1) ·Р(А3 /А1 ·А2)·...
              Теорема сложения вероятностей                                                  ·P(An / A1 ·A2 · An–1).
    В теории вероятностей доказывается, что для любых слу-              Задача. Рассмотрим ситуацию о вынимании одного счаст-
чайных событий А и В вероятность их суммы может быть пред-          ливого билета (вероятность не зависит от порядка, очередности
ставлена через вероятности каждого из этих событий и вероят-        вытягивания жребия). 20 человек разыгрывают один приз. Изго-
ность их произведения:                                              товлены таблички (19 пустых, а на одной крест) и помещены в
                Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А · В).                    барабан. Участники по очереди, случайным образом достают их.
Для несовместных событий теорема сложения упрощается:               У кого больше вероятность вытянуть призовую табличку – у
                    Р(А+В) = Р(А) + Р(В).                           первого или последнего? (Если вынимать с возвращением – то
                                                                    очевидно полное равенство шансов 1/20, но суть задачи при
              Теорема умножения вероятностей                        этом теряется, так как призовую табличку могут вытянуть двое.)
                                                                    Пусть карточки вынимаются без возвращения – интуитивно
                      Условная вероятность                          можно дать тот же ответ.
    Условная вероятность P(A/B) – это вероятность события А,            Решение. Введем события: Ai = {i-й участник вытянул
пересчитанная с учетом того, что достоверно и точно известно,       приз}, тогда P(A1) = 1/20. Воспользуемся очевидными соотно-
что событие В произошло.                                            шениями: A2 = А1 · А2, А3 = А1 · А2 · А3, … (ясно, что А1 ⊃ А2 ,
     Пример. Пусть при подбрасывании кубика определены
                                                                    А1 ⋅ А2 ⊃ А3 и т.д.).
случайные события: А = {выпадение 2}, В = {выпадение четной
грани}. Определим условные и безусловные вероятности                     Тогда Р(A2) = Р( А1 · А2) = Р( А1 ) · Р(А2/ А1 ) = (19/20) · (1/19) =
Р(А) = 1/6, Р(В) = 3/6 = 1/2, P(A/B) = 1/3, P(В/А) = 1/1 = 1. Ис-   = 1/20.
пользуя понятие условной вероятности, можем сформулировать               Р(A3) = Р( А1 · А2 · А3) = Р( А1 ) · Р( А2 / А1 ) Р(А3/ А1 · А2 ) =
теорему умножения вероятностей:                                          = (19/20) · (18/19) · (1/18) = 1/20 и т.д.
              P(A · B) = P(A) · P(B/A) = P(B) · P(A/B).                 Задача. В связке 7 ключей, из которых лишь один открыва-
     Эта теорема позволяет вычислять вероятности сложных со-        ет дверь. Какова вероятность, что для того, чтобы открыть дверь
бытий, представляя их через простые события, вероятности ко-        придется перепробовать ровно 4 ключа, (т.е. дверь откроется с
торых найти гораздо легче.                                          4-й попытки)?
    Задача. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали               Решение. Рассуждения предыдущей задачи приводят к вы-
2 шара. Какова вероятность, что оба они белые?                      воду, что все попытки должны быть равноправны.
     Решение. Введем простые события: А = {второй шар –                 Но если после попытки ключ возвращается на связку, то ка-
белый}, В = {первый шар – белый}. Тогда нужное нам сложное          ждая последующая попытка будет иметь все меньше шансов на
событие представляется через А и В: C = A · B. Следовательно,       успех: Р = (1–1/n)i(1/n) → 0 (геометрическое распределение).
по теореме умножения вероятностей P(С) = Р(А · В) =                 При этом, конечно, шанс открыть дверь по сумме попыток будет
= Р(В) · Р(А/В) = 8/11 · 7/10 = 28/55. Ранее мы эту задачу решили   приближаться к 1 (сумма членов геометрической прогрессии).
с помощью комбинаторной схемы и получили такой же ответ.


                               17                                                                      18