Составители:
Рубрика:
15
Если же не обращать внимание на качественный состав выбор-
ки, то их будет гораздо больше:
qp
mn
С
+
+
.
Задача. В партии из 100 деталей есть 10 бракованных. Нау-
гад выбираем из них 3 детали. Найти количество возможных
комбинаций, чтобы среди выбранных ровно две детали были
годными, а одна бракованной.
Решение.
1
10
2
90
CС ⋅
= 4005 · 10 = 40050, а всего
3
100
С
=
= 98 · 99 · 100/(1 · 2 · 3) = 161700.
Классическое определение вероятности
Пусть для некоторого опыта множество элементарных исхо-
дов
Ω состоит из конечного числа равновозможных элементар-
ных исходов
i
ω
(i = 1, ..., n). Пусть А – случайное событие, для
которого благоприятствующими являются исходы
k
ω
ω
ω
,...,,
21
,
А = {
k
ω
ω
ω
,...,,
21
}, 0 ≤ k ≤ n.
Тогда вероятностью события
А называется число
Р(А) =
n
k
исходоввсехколичество
исходовныхблагоприятколичество
=
.
Примеры: А = {выпадение герба на монете}. Р(А) = 1/2 = 0.5.
B = {выпадение «5» на кубике}. Р(В) = 1/6 = 0.16667.
С = {выпадение числа > 2 на кубике}. Р(С) = 4/6 = 0.66667.
Задача. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали
1 шар. Какова вероятность, что он белый?
Решение. Р = 8/11.
Свойства вероятности
1. Р(А) ≥ 0.
2.
Р(А) ≤ 1.
Достигаются ли эти крайние значения? Ответ на этот вопрос
дает свойство 3.
3.
Р(Ω) = 1. Р(∅) = 0.
4. Теорема сложения вероятностей для
несовместных собы-
тий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
16
5. Вероятность противоположного события, которую иногда
легче найти, чем вероятность самого события
А.
Р(А) = 1 – Р( А ).
Задача. Подбрасываются 2 кубика. Найти вероятность, что
сумма чисел, выпавших на гранях, равна 10.
Решение. Р = 3/36 = 1/12.
Задача. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали 2
шара. Какова вероятность, что оба они белые? Учитываем, что
не важно, по очереди достали шары, или оба сразу.
Решение. Используем комбинаторную схему (1):
Р =
0
3
2
8
CС ⋅ /
2
11
С = (28 · 1)/55
.
=
~
0.5.
Задача. Пусть в ситуации предыдущей задачи вынутый шар
возвращается на место (вынимание с возвращением).
Решение. Р = (8 · 8) / (11 · 11) = 64/121 > 0.5.
Задача. Какова вероятность при двукратном подбрасывании
кубика выбросить дважды одно и то же число?
Решение. Р = 6/36 = 1/6.
Вопросы для самопроверки
1. Какое событие называется случайным?
2.
Определить элементарные исходы опыта.
3.
Какой исход называется благоприятствующим случай-
ному событию
А?
4.
Дать определения суммы случайных событий, произве-
дения случайных событий.
5.
Какие события называются несовместными?
6.
Сформулировать правило произведения для подсчета
количества комбинаций.
7.
Дать определения перестановок, сочетаний.
8.
Когда можно применить комбинаторную схему (1)?
9.
Сформулировать классическое определение вероятности.
В каких случаях оно применимо?
10.
Перечислить свойства вероятности.
Если же не обращать внимание на качественный состав выбор- 5. Вероятность противоположного события, которую иногда
ки, то их будет гораздо больше: Сnp++mq . легче найти, чем вероятность самого события А.
Задача. В партии из 100 деталей есть 10 бракованных. Нау- Р(А) = 1 – Р( А ).
гад выбираем из них 3 детали. Найти количество возможных Задача. Подбрасываются 2 кубика. Найти вероятность, что
комбинаций, чтобы среди выбранных ровно две детали были сумма чисел, выпавших на гранях, равна 10.
годными, а одна бракованной. Решение. Р = 3/36 = 1/12.
3
Решение. С 902 ⋅ C101 = 4005 · 10 = 40050, а всего С100 = Задача. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали 2
шара. Какова вероятность, что оба они белые? Учитываем, что
= 98 · 99 · 100/(1 · 2 · 3) = 161700.
не важно, по очереди достали шары, или оба сразу.
Решение. Используем комбинаторную схему (1):
Классическое определение вероятности
~. 0.5.
Р = С82 ⋅ C30 / С112 = (28 · 1)/55 =
Пусть для некоторого опыта множество элементарных исхо-
дов Ω состоит из конечного числа равновозможных элементар- Задача. Пусть в ситуации предыдущей задачи вынутый шар
ных исходов ω i (i = 1, ..., n). Пусть А – случайное событие, для возвращается на место (вынимание с возвращением).
которого благоприятствующими являются исходы ω1 , ω2 ,..., ωk , Решение. Р = (8 · 8) / (11 · 11) = 64/121 > 0.5.
Задача. Какова вероятность при двукратном подбрасывании
А = { ω1 , ω2 ,..., ωk }, 0 ≤ k ≤ n. кубика выбросить дважды одно и то же число?
Тогда вероятностью события А называется число Решение. Р = 6/36 = 1/6.
количество благоприятных исходов k
Р(А) = = .
количество всех исходов n Вопросы для самопроверки
Примеры: А = {выпадение герба на монете}. Р(А) = 1/2 = 0.5. 1. Какое событие называется случайным?
B = {выпадение «5» на кубике}. Р(В) = 1/6 = 0.16667. 2. Определить элементарные исходы опыта.
С = {выпадение числа > 2 на кубике}. Р(С) = 4/6 = 0.66667. 3. Какой исход называется благоприятствующим случай-
Задача. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали ному событию А?
1 шар. Какова вероятность, что он белый? 4. Дать определения суммы случайных событий, произве-
Решение. Р = 8/11. дения случайных событий.
5. Какие события называются несовместными?
Свойства вероятности 6. Сформулировать правило произведения для подсчета
1. Р(А) ≥ 0. количества комбинаций.
2. Р(А) ≤ 1. 7. Дать определения перестановок, сочетаний.
Достигаются ли эти крайние значения? Ответ на этот вопрос 8. Когда можно применить комбинаторную схему (1)?
дает свойство 3. 9. Сформулировать классическое определение вероятности.
3. Р(Ω) = 1. Р(∅) = 0. В каких случаях оно применимо?
4. Теорема сложения вероятностей для несовместных собы- 10. Перечислить свойства вероятности.
тий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
15 16
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
