Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 5 стр.

     Задача. Опыт состоит в одновременном подбрасывании                               Операции над случайными событиями
двух монет. Рассмотрим событие В = {выпадение хотя бы одно-                  Сумма событий С = А+В – произойдет тогда и только тогда,
го герба}. Требуется: 1) перечислить все элементарные исходы,            когда произойдет событие А или событие В, или оба вместе.
т.е. построить Ω; 2) перечислить все исходы ω i , благоприятст-              Пример. Пусть при подбрасывании кубика А = {2, 4},
вующие событию В.                                                        B = {4, 6}. Тогда С = {2, 4, 6}. Количество благоприятствующих
     Решение. Пронумеруем монеты                                         элементарных исходов увеличилось.
    1М2М                                                                     Произведение событий С = А · В – произойдет тогда и толь-
    Г Г         Таким образом, ω 1 = {Г, Г}, ω 2 = {Г, Ц},               ко тогда, когда произойдут оба события А и В одновременно.
    Г Ц                                                                      Пример. Пусть при подбрасывании кубика А = {2, 4},
                 ω 3 = {Ц, Г}, ω 4 = {Ц, Ц}. В = { ω1 , ω2 , ω3 }.       B = {4, 6}. Тогда С = {4}. Количество благоприятствующих эле-
    Ц Г
    Ц Ц                                                                  ментарных исходов уменьшилось.
     Задача. Два стрелка одновременно стреляют по одной ми-                  Задача. Одновременно подбрасываются 3 монеты.
шени. Требуется: 1) перечислить все элементарные исходы, т.е.            А = {выпало < трех гербов}, B = {выпало ≥ двух цифр}. Найти
построить Ω; 2) перечислить все исходы ω i , благоприятствую-            С = А · В.
                                                                              Решение. С = {ГЦЦ, ЦЦЦ, ЦЦГ, ЦГЦ}.
щие событию В = {в мишени ровно одна пробоина}. При этом
считаем, что если в мишень попали две пули, то и отверстий                   Противоположное событие А (не А) – происходит тогда и
можно различить два.                                                     только тогда, когда событие А не произошло.
     Решение.                                                                Пример. Пусть при подбрасывании кубика А = {2, 4}, тогда
    1 Ст. 2 Ст.   Таким образом, ω 1 = {П, П}, ω 2 = {П, Н},              А = {1, 3, 5, 6}. Если при подбрасывании монеты D = {Г}, то
    П    П       ω 3 = {Н, П}, ω 4 = {Н, Н}. В = { ω2 , ω3 }.            D = {Ц}. Очевидно, что А + А = Ω, а А · А = ∅.
    П    Н                                                                   Несовместные (взаимоисключающие) события – два или бо-
                  Для проверки понимания этой ситуации по-
    Н    П                                                               лее событий А, В и т.д., которые не могут реализоваться одно-
                 лезно разобраться, чем отличаются следующие
    Н    Н                                                               временно, в одном опыте. Очевидно, что А · В = ∅.
                 события:
             ⎧не менее⎫ ⎧по крайней мере⎫ ⎧ ровно             ⎫              Пример. Два стрелка стреляют одновременно по одной ми-
{в мишени ⎨            ⎬⎨                 ⎬⎨                  ⎬ 1 про-   шени. Пусть А = {хотя бы один стрелок попал}, а В = {хотя бы
             ⎩хотя бы ⎭ ⎩более чем        ⎭ ⎩не более чем⎭               один стрелок промахнулся}. Будут ли А и В несовместны? Не
боина}.                                                                  будут, они совместны. Рассмотрим другую ситуацию: при под-
     Невозможное событие ∅ – событие, которое заведомо не                брасывании кубика А = {2, 4} и B = {3} несовместны, хотя и не
произойдет в данном опыте. Например, при подбрасывании ку-               противоположны.
бика выпадет: 0, 10, >100, одновременно выпадет 1 и 5.
     Достоверное событие Ω – событие, которое обязательно,                               Элементы комбинаторики
наверняка, произойдет в данном опыте. Например, при подбра-                 Комбинаторика применяется для подсчета количества ком-
сывании кубика выпадет: число из отрезка [1, 6], <100, > 0.              бинаций, вариантов и элементарных исходов в каком-либо
                                                                         опыте.


                                 11                                                                   12