Составители:
Рубрика:
13
Правило произведения. Предположим, что переменная i мо-
жет принимать одно из m значений, а переменная j – независимо
от нее, одно из n значений. Сколько упорядоченных пар (i, j)
можно составить? Ответ получаем графически. Количество та-
ких пар равно количеству клеток таблицы и равно n · m.
Если независимых переменных не
две, а больше, то правило
произведения дает ответ, что количество упорядоченных комби-
наций (i
1
, i
2
, ..., i
p
) равно
n
1
· n
2
· ... · n
p
.
Пример. Опыт состоит в подбрасывании трех монет. Здесь
каждой из монет можно сопоставить переменную, которая при-
нимает два значения: Г или Ц. Значит p = 3, а каждая из i
1
, i
2
, i
3
принимает, независимо от других, ровно два значения, т.е.
n
1
= 2, n
2
= 2, n
3
= 2. Количество возможных элементарных исхо-
дов этого опыта:
n
1
· n
2
· n
3
= 2
3
= 8.
Полученный результат можно проверить и методом перебора.
Перестановки Р
n
– все комбинации из n различных элемен-
тов, отличающиеся друг от друга только порядком следования
элементов.
Пример. Составим все перестановки карточек с надписан-
ными буквами А, В, С. Это АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА, –
6 вариантов.
Формула для подсчета количества перестановок:
Р
n
= n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n–2) · (n–1) · n. 3! = 6, 5! = 120.
Сочетания
m
n
С – все комбинации, содержащие m предме-
тов, входящих в набор из n различных предметов, m ≤ n. Поря-
док следования предметов здесь безразличен.
j i
i
1
i
2
...
i
m
j
1
(i
1
, j
1
) (i
2
, j
1
) (i
m
, j
1
)
j
2
(i
1
, j
2
) (i
2
, j
2
) (i
m
, j
2
)
...
j
n
(i
1
, j
n
) (i
2
, j
n
) (i
m
, j
n
)
14
Пример. Составим все сочетания по три карточки из набора
А, В, С, D. Это АВС, АСD, АBD, ВСD. 4 варианта.
Формула для подсчета количества сочетаний:
=
−
=
)!(!
!
mnm
n
С
m
n
)()1()2(...321)1()2(...321
)1)(2(...321
mnmnmnmmm
nnn
−⋅−−⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅
−−⋅⋅⋅⋅
=
.
Отметим, что всегда существует возможность сократить боль-
шое количество сомножителей. Например:
4
1321
4321
3
4
=
⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅
=С
.
Следует иметь в виду, что 0! = 1, поэтому
1
0
=
n
С , 1=
n
n
С , nС
n
=
1
.
Замечание. Если порядок следования в сочетаниях важен,
то такие комбинации называются
размещениями:
)!(
!
!
mn
n
mСА
m
n
m
n
−
=⋅=
. Выбрать трех студентов из группы в
10 человек – сочетания, а вот выбрать актив (спорторга, профор-
га и старосту) – размещения.
Комбинаторная схема. Пусть имеется совокупность пред-
метов двух сортов:
n – 1-го сорта и m – 2-го сорта. Требуется из
этой совокупности сделать выборку (взять часть предметов).
Сколько всего существует различных выборок, таких, что в них
ровно
p предметов 1-го сорта и q предметов 2-го сорта? Сколько
существует всего выборок, содержащих
p+q предметов, если не
следить за качественным составом выборки?
n – 1-го сорта m – 2-го сорта
p – 1-го сорта q – 2-го сорта
Решение. Выборок с заданным качественным составом будет
ровно
q
m
p
n
CС ⋅ (1)
Правило произведения. Предположим, что переменная i мо- Пример. Составим все сочетания по три карточки из набора
жет принимать одно из m значений, а переменная j – независимо А, В, С, D. Это АВС, АСD, АBD, ВСD. 4 варианта.
от нее, одно из n значений. Сколько упорядоченных пар (i, j) Формула для подсчета количества сочетаний:
можно составить? Ответ получаем графически. Количество та- n!
С nm = =
ких пар равно количеству клеток таблицы и равно n · m. m!( n − m )!
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ ...⋅ (n − 2)(n −1)n
j i i1 i2 ... im = .
j1 (i1, j1) (i2, j1) (im, j1)
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ ...⋅ (m − 2) ⋅ (m −1) ⋅ m ⋅1⋅ 2 ⋅ 3⋅ ...⋅ (n − m − 2) ⋅ (n − m −1) ⋅ (n − m)
j2 (i1, j2) (i2, j2) (im, j2) Отметим, что всегда существует возможность сократить боль-
... шое количество сомножителей. Например: С43 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 4 .
jn (i1, jn) (i2, jn) (im, jn) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅1
Следует иметь в виду, что 0! = 1, поэтому Сn = 1 , Сn = 1 , Сn1 = n .
0 n
Если независимых переменных не две, а больше, то правило Замечание. Если порядок следования в сочетаниях важен,
произведения дает ответ, что количество упорядоченных комби- то такие комбинации называются размещениями:
наций (i1, i2, ..., ip) равно m m
Аn = Сn ⋅ m!= n! . Выбрать трех студентов из группы в
n1 · n2 · ... · np. (n − m)!
Пример. Опыт состоит в подбрасывании трех монет. Здесь 10 человек – сочетания, а вот выбрать актив (спорторга, профор-
каждой из монет можно сопоставить переменную, которая при- га и старосту) – размещения.
нимает два значения: Г или Ц. Значит p = 3, а каждая из i1, i2, i3 Комбинаторная схема. Пусть имеется совокупность пред-
принимает, независимо от других, ровно два значения, т.е. метов двух сортов: n – 1-го сорта и m – 2-го сорта. Требуется из
n1 = 2, n2 = 2, n3 = 2. Количество возможных элементарных исхо- этой совокупности сделать выборку (взять часть предметов).
дов этого опыта: Сколько всего существует различных выборок, таких, что в них
n1 · n2 · n3 = 23 = 8. ровно p предметов 1-го сорта и q предметов 2-го сорта? Сколько
Полученный результат можно проверить и методом перебора. существует всего выборок, содержащих p+q предметов, если не
Перестановки Рn – все комбинации из n различных элемен- следить за качественным составом выборки?
тов, отличающиеся друг от друга только порядком следования
элементов.
Пример. Составим все перестановки карточек с надписан- n – 1-го сорта m – 2-го сорта
ными буквами А, В, С. Это АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА, –
6 вариантов. p – 1-го сорта q – 2-го сорта
Формула для подсчета количества перестановок:
Рn = n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n–2) · (n–1) · n. 3! = 6, 5! = 120. Решение. Выборок с заданным качественным составом будет
Сочетания С nm – все комбинации, содержащие m предме- ровно
тов, входящих в набор из n различных предметов, m ≤ n. Поря- Сnp ⋅ Cmq (1)
док следования предметов здесь безразличен.
13 14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
