Составители:
Рубрика:
19
Независимость случайных событий
Случайные события А и В называются независимыми, если
вероятность того, что произойдет одно из них не зависит от того,
произошло ли в этом опыте второе. Это означает, что условные
вероятности этих событий равны безусловным:
Р(А) = P(A/B), Р(В) = P(В/А).
Пример. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали 2
шара. События:
А = {второй шар – белый}, В = {первый шар – бе-
лый}, очевидно,
зависимы. Действительно, мы видели, что
P(A/B) = 7/10. В то же время Р(А) = (интуитивно) 8/11 = (по комби-
наторике) (3 · 8 + 8 · 7) / (3 · 8 + 8 · 7 + 8 · 3 + 3 · 2) = 80/110 = 8/11(!).
Если же производятся вынимания с возвращением, то данные
события будут
независимыми.
При подбрасывании двух (или более) монет события:
А = {на второй монете – Г}, В = {на первой монете – Г}, оче-
видно, независимы. Действительно,
P(A/B) = Р(А) = 1/2.
Для
независимых событий теорема умножения вероятностей
принимает более простой вид:
P(A · B) = P(A) · P(B).
Задача. Какова вероятность при двукратном подбрасывании
кубика выбросить дважды единицу?
Решение. Р = (1/6) · (1/6) = 1/36.
Задача. Какова вероятность при 10-кратном подбрасывании
монеты выбросить подряд 10 гербов?
Решение. Все случайные события А
i
= {на i-й монете герб}
i = 1, ..., 10, – независимы. Поэтому Р = (1/2)
10
= 1/2
10
= 1/ 1024 ~
~ 0.001.
Задача. Ребенок играет с карточками, на которых написаны
буквы: «Т» – 3 карточки, «У» – 1, «И» –2, «Н» – 1, «С» – 1. Най-
ти вероятность, что он случайно выложит слово «институт».
Решение. Р = (2/8)
·
(1/7) · (1/6) · (3/5) · (1/4) · (2/3) · (1/2) · (1/1) =
= 1/3360 ~ 0.0003.
Задача. Студент проходит тестирование, решая одну за дру-
гой две задачи. Вероятность решить первую – 0.7, а вероятность
решить вторую задачу – 0.8. Экзамен считается сданным, если
хотя бы одна задача решена студентом успешно. Найти вероят-
ность положительного результата тестирования.
20
Решение. Введем простые случайные события: А = {первая
задача решена},
В = {вторая задача решена}. Считаем, что они
независимы. Очевидно, что искомое событие
С = {хотя бы одна
задача решена}, является
суммой этих простых событий. Совме-
стны ли события
А и В? Да, совместны. Поэтому применяем тео-
рему сложения вероятностей в общей форме (и теорему умно-
жения для независимых событий):
Р(С) = Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А · В) = 0.7 + 0.8 – 0.7 · 0.8 = 0.94.
З
адача. Из трех орудий производится залп по цели. Вероят-
ности попадания при одном выстреле для каждого из этих ору-
дий соответственно равны: 0.9, 0.8 и 0.6. Найти вероятности сле-
дующих случайных событий:
В = {в цель попали ровно два орудия}, С = {в мишени после зал-
па в точности одна пробоина},
D = {все орудия промахнулись}.
Решение. Введем в рассмотрение простые события.
А
1
= {первое орудие попало},
1
А = {первое орудие промахну-
лось},
P(А
1
) = 0.9, P(
1
А ) = 1 – 0.9 = 0.1.
А
2
= {второе орудие попало},
2
А
= {второе орудие промахну-
лось},
P(А
2
) = 0.8, P(
2
А
) = 1 – 0.8 = 0.2.
А
3
= {третье орудие попало},
3
А = {третье орудие промахну-
лось},
P(А
3
) = 0.6, P(
3
А ) = 1 – 0.6 = 0.4.
События
В, С и D легко представить через них:
В = А
1
· А
2
·
3
А
+ А
1
·
2
А
· А
3
+
1
А
· А
2
· А
3,
С = А
1
·
2
А
·
3
А
+
1
А
· А
2
·
3
А
+
1
А
·
2
А
· А
3
,
D =
1
А ·
2
А ·
3
А .
Теперь, используя теоремы о сложении вероятностей и об
умножении вероятностей, получаем:
Р(В) = Р(А
1
· А
2
·
3
А + А
1
·
2
А · А
3
+
1
А · А
2
· А
3
) = {по теоре-
ме сложения вероятностей для несовместных событий} =
=
Р(А
1
· А
2
·
3
А
) + Р(А
1
·
2
А
· А
3
) + Р(
1
А
· А
2
· А
3
) = {по теореме
умножения вероятностей для независимых событий} =
Р(А
1
) ·
· Р
(А
2
) · Р(
3
А ) + Р(А
1
) · Р(
2
А ) · Р(А
3
) + Р(
1
А ) · Р(А
2
) · Р(А
3
) =
= 0.9 · 0.8 · 0.4 + 0.9 · 0.2 · 0.6 + 0.1 · 0.8 · 0.6 = 0.288 + 0.108 +
+ 0.048 = 0.444.
Независимость случайных событий Решение. Введем простые случайные события: А = {первая
Случайные события А и В называются независимыми, если задача решена}, В = {вторая задача решена}. Считаем, что они
вероятность того, что произойдет одно из них не зависит от того, независимы. Очевидно, что искомое событие С = {хотя бы одна
произошло ли в этом опыте второе. Это означает, что условные задача решена}, является суммой этих простых событий. Совме-
вероятности этих событий равны безусловным: стны ли события А и В? Да, совместны. Поэтому применяем тео-
Р(А) = P(A/B), Р(В) = P(В/А). рему сложения вероятностей в общей форме (и теорему умно-
Пример. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали 2 жения для независимых событий):
шара. События: А = {второй шар – белый}, В = {первый шар – бе- Р(С) = Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А · В) = 0.7 + 0.8 – 0.7 · 0.8 = 0.94.
лый}, очевидно, зависимы. Действительно, мы видели, что Задача. Из трех орудий производится залп по цели. Вероят-
P(A/B) = 7/10. В то же время Р(А) = (интуитивно) 8/11 = (по комби- ности попадания при одном выстреле для каждого из этих ору-
наторике) (3 · 8 + 8 · 7) / (3 · 8 + 8 · 7 + 8 · 3 + 3 · 2) = 80/110 = 8/11(!). дий соответственно равны: 0.9, 0.8 и 0.6. Найти вероятности сле-
Если же производятся вынимания с возвращением, то данные дующих случайных событий:
события будут независимыми. В = {в цель попали ровно два орудия}, С = {в мишени после зал-
При подбрасывании двух (или более) монет события: па в точности одна пробоина}, D = {все орудия промахнулись}.
Решение. Введем в рассмотрение простые события.
А = {на второй монете – Г}, В = {на первой монете – Г}, оче-
видно, независимы. Действительно, P(A/B) = Р(А) = 1/2. А1 = {первое орудие попало}, А1 = {первое орудие промахну-
Для независимых событий теорема умножения вероятностей лось}, P(А1) = 0.9, P( А1 ) = 1 – 0.9 = 0.1.
принимает более простой вид: P(A · B) = P(A) · P(B). А2 = {второе орудие попало}, А2 = {второе орудие промахну-
Задача. Какова вероятность при двукратном подбрасывании
кубика выбросить дважды единицу? лось}, P(А2) = 0.8, P( А2 ) = 1 – 0.8 = 0.2.
Решение. Р = (1/6) · (1/6) = 1/36. А3 = {третье орудие попало}, А3 = {третье орудие промахну-
Задача. Какова вероятность при 10-кратном подбрасывании лось}, P(А3) = 0.6, P( А3 ) = 1 – 0.6 = 0.4.
монеты выбросить подряд 10 гербов? События В, С и D легко представить через них:
Решение. Все случайные события Аi = {на i-й монете герб}
В = А1 · А2 · А3 + А1 · А2 · А3 + А1 · А2 · А3,
i = 1, ..., 10, – независимы. Поэтому Р = (1/2)10 = 1/210 = 1/ 1024 ~
~ 0.001. С = А1· А2 · А3 + А1 · А2 · А3 + А1 · А2 · А3,
Задача. Ребенок играет с карточками, на которых написаны D = А1 · А2 · А3 .
буквы: «Т» – 3 карточки, «У» – 1, «И» –2, «Н» – 1, «С» – 1. Най- Теперь, используя теоремы о сложении вероятностей и об
ти вероятность, что он случайно выложит слово «институт». умножении вероятностей, получаем:
Решение. Р = (2/8) · (1/7) · (1/6) · (3/5) · (1/4) · (2/3) · (1/2) · (1/1) = Р(В) = Р(А1· А2 · А3 + А1 · А2 · А3 + А1 · А2 · А3) = {по теоре-
= 1/3360 ~ 0.0003.
Задача. Студент проходит тестирование, решая одну за дру- ме сложения вероятностей для несовместных событий} =
гой две задачи. Вероятность решить первую – 0.7, а вероятность = Р(А1 · А2 · А3 ) + Р(А1 · А2 · А3) + Р( А1 · А2 · А3) = {по теореме
решить вторую задачу – 0.8. Экзамен считается сданным, если умножения вероятностей для независимых событий} = Р(А1) ·
хотя бы одна задача решена студентом успешно. Найти вероят- · Р(А2) · Р( А3 ) + Р(А1) · Р( А2 ) · Р(А3) + Р( А1 ) · Р(А2) · Р(А3) =
ность положительного результата тестирования. = 0.9 · 0.8 · 0.4 + 0.9 · 0.2 · 0.6 + 0.1 · 0.8 · 0.6 = 0.288 + 0.108 +
+ 0.048 = 0.444.
19 20
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
