Составители:
Рубрика:
27
строенный ранее закон распределения этой случайной величи-
ны, получаем:
М(Х) = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 21/6 = 3.5.
Подтвержден геометрический смысл математического ожида-
ния.
Пример 2. Найдем математическое ожидание случайной ве-
личины
Z, возникающей при подбрасывании двух монет, равной
числу выпавших гербов.
М(Z) = 0·1/4 + 1·1/2 + 2·1/4 = 1.
Здесь также подтверждается геометрический смысл матема-
тического ожидания.
Свойства математического ожидания
1. М(const) = const.
2.
М(СХ) = СМ(Х).
3.
М(Х + Y) = М(Х) + М(Y), для любых двух случайных ве-
личин
Х и Y.
4. Пусть случайные величины
Х и Y независимы. Тогда
М(Х· Y) = М(Х) · М(Y).
Пояснение. Случайные величины Х и Y – называются неза-
висимыми
тогда и только тогда, когда случайные события
{
Х = х
i
} и {Y = y
j
} при любых i и j являются независимыми. Со-
гласно ранее данному определению, следует, что при любых
i и j
вероятность события {Х = х
i
} не зависит от того, произошло ли
событие {
Y = y
j
} и наоборот. Другими словами, независимые
случайные величины
Х и Y не могут влиять друг на друга, взаи-
мовлияние отсутствует.
Пример. Пусть требуется найти математическое ожидание
суммы значений, выпавших на двух одновременно подброшен-
ных кубиках.
Ответ получаем без вычисления закона распределения суммы
двух случайных величин:
М(Х+ Y) = 7 на основании свойства 3.
Математическое ожидание биномиальной случайной вели-
чины так же легко получить, пользуясь свойством 3:
M (S
n
) = n · p.
28
Дисперсия случайной величины
Дисперсия случайной величины является мерой разброса
(рассеяния) значений этой случайной величины, вокруг ее мате-
матического ожидания. Рассмотрим геометрическую схему:
Очевидно, что
D(X) < D(Y).
Для дискретной случайной величины
Х дисперсия определя-
ется и вычисляется по формуле:
D(Х) = х
1
2
р
1
+ х
2
2
р
2
+ ... + х
n
2
р
n
– М
2
(Х) =
=
2
1
2
mрx
n
i
ii
−
∑
=
=
∑
=
−
n
i
ii
рmx
1
2
)(
. (3)
Для вычисления дисперсии достаточно знать закон распре-
деления случайной величины, используя уже найденное значе-
ние математического ожидания случайной величины Х.
Пример 1. Найдем дисперсию случайной величины Х – зна-
чения грани, выпавшей на кубике. Используя построенный ранее
закон распределения этой случайной величины, получаем:
D(Х) = 1/6 + 4/6 + 9/6 + 16/6 + 25/6 + 36/6 – 3.5
2
= 91/6 – 12.25
.
=
~
.
=
~
15.17–12.25 = 2.92.
Пример 2. Найдем дисперсию случайной величины Z, воз-
никающей при подбрасывании двух монет, равной числу вы-
павших гербов.
D(Z) = 0·1/4 + 1·1/2 + 4·1/4 – 1
2
= 1/2.
Свойства дисперсии
1. D(X) ≥ 0.
2. D(const) = 0.
3. D(СХ) = С
2
D(Х).
Эти три свойства доказываются по определению (3).
4. Пусть случайные величины Х и Y – независимы. Тогда
D(Х + Y) = D(Х) + D(Y).
Пример. Пусть требуется найти дисперсию суммы значе-
ний, выпавших на двух одновременно подброшенных кубиках.
строенный ранее закон распределения этой случайной величи- Дисперсия случайной величины
ны, получаем: Дисперсия случайной величины является мерой разброса
М(Х) = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 21/6 = 3.5. (рассеяния) значений этой случайной величины, вокруг ее мате-
Подтвержден геометрический смысл математического ожида- матического ожидания. Рассмотрим геометрическую схему:
ния.
Пример 2. Найдем математическое ожидание случайной ве-
личины Z, возникающей при подбрасывании двух монет, равной
числу выпавших гербов.
Очевидно, что D(X) < D(Y).
М(Z) = 0·1/4 + 1·1/2 + 2·1/4 = 1.
Для дискретной случайной величины Х дисперсия определя-
Здесь также подтверждается геометрический смысл матема-
ется и вычисляется по формуле:
тического ожидания.
D(Х) = х12 р1 + х22 р2 + ... + хn2 рn – М 2(Х) =
n n
Свойства математического ожидания = ∑ xi2 рi − m 2 = ∑ ( xi − m)2 рi . (3)
1. М(const) = const. i =1 i =1
2. М(СХ) = СМ(Х). Для вычисления дисперсии достаточно знать закон распре-
3. М(Х + Y) = М(Х) + М(Y), для любых двух случайных ве- деления случайной величины, используя уже найденное значе-
личин Х и Y. ние математического ожидания случайной величины Х.
4. Пусть случайные величины Х и Y независимы. Тогда Пример 1. Найдем дисперсию случайной величины Х – зна-
М(Х· Y) = М(Х) · М(Y). чения грани, выпавшей на кубике. Используя построенный ранее
Пояснение. Случайные величины Х и Y – называются неза- закон распределения этой случайной величины, получаем:
висимыми тогда и только тогда, когда случайные события ~.
D(Х) = 1/6 + 4/6 + 9/6 + 16/6 + 25/6 + 36/6 – 3.52 = 91/6 – 12.25 =
{Х = хi} и {Y = yj} при любых i и j являются независимыми. Со- ~. 15.17–12.25 = 2.92.
=
гласно ранее данному определению, следует, что при любых i и j
Пример 2. Найдем дисперсию случайной величины Z, воз-
вероятность события {Х = хi} не зависит от того, произошло ли
никающей при подбрасывании двух монет, равной числу вы-
событие {Y = yj} и наоборот. Другими словами, независимые
павших гербов.
случайные величины Х и Y не могут влиять друг на друга, взаи-
D(Z) = 0·1/4 + 1·1/2 + 4·1/4 – 12 = 1/2.
мовлияние отсутствует.
Пример. Пусть требуется найти математическое ожидание
Свойства дисперсии
суммы значений, выпавших на двух одновременно подброшен-
1. D(X) ≥ 0.
ных кубиках.
2. D(const) = 0.
Ответ получаем без вычисления закона распределения суммы
3. D(СХ) = С2 D(Х).
двух случайных величин: М(Х+ Y) = 7 на основании свойства 3.
Эти три свойства доказываются по определению (3).
Математическое ожидание биномиальной случайной вели-
4. Пусть случайные величины Х и Y – независимы. Тогда
чины так же легко получить, пользуясь свойством 3:
D(Х + Y) = D(Х) + D(Y).
M (Sn) = n · p.
Пример. Пусть требуется найти дисперсию суммы значе-
ний, выпавших на двух одновременно подброшенных кубиках.
27 28
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
