Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 23 стр.

    Оценка генеральной дисперсии. Dг является второй важней-                                   В математической статистике доказано, что обе построен-
шей числовой характеристикой генеральной совокупности,                                    ные нами точечные оценки являются состоятельными. Также
имеющей смысл меры рассеяния (разброса) значений генераль-                                доказано, что х в является несмещенной оценкой для x г . К со-
ной совокупности вокруг генерального среднего. В качестве                                 жалению, этого нельзя сказать об оценке Dв, – она является сме-
приближенного значения или точечной оценки для Dг будем ис-                               щенной. Однако выход из этой ситуации был найден с помощью
пользовать выборочную дисперсию Dв, которая может быть вы-                                введения так называемой исправленной выборочной дисперсии
числена по имеющейся в нашем распоряжении выборке:                                        S2, вычисляемой по формуле:
               Dв = (х12 + х22 + …+ хn2)/n – х в 2.                                                                       n
Dв удобнее вычислять по группированному статистическому ря-                                                        S2 =      Dв .
                                                                                                                        n −1
ду:                                                                                       Оценка S2 является состоятельной и несмещенной оценкой для
         5
                                                                                          генеральной дисперсии Dг.
 Dв =   ∑ wi zi* 2   – х в 2 = w1 z1*2 + w2 z2*2 + w3 z3*2 + w4 z4*2 + w5 z5*2 – х в 2.
        i =1
    Замечание. Чтобы получить вышеуказанные точечные                                                Проверка взаимозависимости генеральных
оценки с более высокой точностью, необходимо увеличивать                                      совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции
объем выборки n с одновременным уменьшением шага разбие-                                       В теории вероятностей было определено, что случайные ве-
ния h.                                                                                    личины Х и Y называются независимыми, если при любых i и j
                                                                                          вероятность события {Х = хi} не зависит от того, произошло ли
         Дополнительные свойства точечных оценок                                          событие {Y = yj} и наоборот. При этом условные вероятности
    Существуют различные способы и формулы для построения                                 равны безусловным: Р({Х = хi}) = P({Х = хi}/{Y = yj}). Таким об-
точечных оценок. Наиболее приемлемыми из них считаются об-                                разом, независимые случайные величины не могут влиять друг
ладающие следующими свойствами:                                                           на друга, в свою очередь, между зависимыми случайными вели-
    Состоятельность. Оценка называется состоятельной, если                                чинами существует корреляционная связь. Количественной ме-
при увеличении объема выборки ее значение сходится по веро-                               рой взаимосвязи случайных величин является коэффициент кор-
ятности к оцениваемому параметру. Если в качестве примера                                 реляции:
взять точечную оценку генерального среднего, то должно быть                                            rxy = ( М ( ХY ) − М ( Х ) М (Y )) / Dx ⋅ D y . (7)
выполнено:                                                                                    Приближенным аналогом (точечной оценкой) коэффициента
                       р
                 xв → xг или lim P({| xв − xг | < ε}) = 1 ,                               корреляции, который может быть вычислен по выборке, являет-
                      n →∞           n →∞                                                 ся выборочный коэффициент корреляции:
                                                                                                                   ____
при любом сколь угодно малом ε > 0 .                                                                      rвxy = ( ху в − xв ⋅ ув ) /   Dвx ⋅ Dвy .    (8)
    Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если ма-                                    Он обладает свойствами теоретического коэффициента кор-
тематическое ожидание этой оценки равно оцениваемому пара-                                реляции приведенными в п. 1.5, притом свойства 2 и 3 выполня-
метру. В случае точечной оценки генерального среднего должно                              ются лишь в асимптотическом смысле (при n → ∞ ). В формуле
быть выполнено: М( х в ) = x г .                                                                                                                ____
                                                                                          (8) известны все элементы, кроме выражения ху в , входящего в

                                            47                                                                               48