Составители:
Рубрика:
51
Решение. Из соотношения (9) следует, что
γ
= Р({
σ
δ
σ
n
n
ах
в
<
− ||
}). (10)
В математической статистике доказана теорема: если
Х = N (a, σ), то что случайная величина
n
ах
в
σ
)( −
распределена
по нормальному закону с параметрами a = 0,
σ
= 1, т.е.
n
ах
в
σ
)( −
= N(0, 1). Для случайной величины N(0, 1) составле-
ны подробные таблицы вероятностей, с которыми ее значения
попадают в те или иные интервалы. Выше было указано, что
Р({ 0 < N(0, 1) < х}) = Ф(х), где Ф(х) =
∫
−
x
dxхехр
0
2
)2/(
2
1
π
–
интегральная функция Лапласа. Следовательно, с использовани-
ем симметрии Р({|N(0, 1)|< х}) = Р({0 < N(0, 1) < х}) +
+ Р({ –x < N(0, 1) < 0}) = 2· Р({0 < N(0, 1) < х}) = 2·Ф(х). Теперь из
(10) следует, что
γ
= 2·Ф(
σ
δ
n
).
Используя обратную функцию для Ф(х), получаем
δ
=
n
σ
Ф
–1
(
γ
/2).
Таким образом, доверительный интервал, в котором должна
содержаться оцениваемая величина
г
х , построен:
),(
δ
δ
+−
=
вв
ххI .
Следует учитывать, что границы этого интервала носят слу-
чайный характер и зависят от конкретных выборочных данных,
от выборки. Поэтому корректнее говорить, что с вероятностью
γ
точное теоретическое значение математического ожидания
накрывается построенным доверительным интервалом.
52
Вероятность ошибки, т.е. того, что генеральное среднее не
накроется доверительным интервалом
),(
δ
δ
+
−
=
вв
ххI рав-
на 1–
γ
.
Задача 2. Пусть объем выборки мал, но информации, хотя
бы приближенной, о числовых значениях параметров исследуе-
мой нормальной генеральной совокупности нет. Построить до-
верительный интервал с надежностью
γ
.
Решение. Из соотношения (9) следует:
γ
= Р({
22
||
S
n
n
S
ах
в
δ<
−
}), (11)
где
2
S является точечной несмещенной оценкой по выборке
для неизвестной
σ
. Здесь мы приходим к более сложной слу-
чайной величине
n
S
ах
в
2
)( −
=
1−n
T
, распределенной по закону
Стьюдента (Т-распределение). Известно, что Т-распределение
имеет следующее представление:
n
N
Т
n
n
2
)1,0(
χ
= ,
где
22
1
2
...
nn
NN ++=χ – так называемое распределение хи-квадрат
(распределение Пирсона) с n степенями свободы, N
i
= N(0, 1).
Теперь из (11) следует, что
γ
= Р({
δ
<
−
|| ах
в
}) = Р({
вв
в
D
n
n
D
ах 1
1
|| −
δ<−
−
}) =
= Р({
вв
в
в
D
n
n
D
ах
D
n 1
1
1 −
δ<−
−
<
−
δ− }) =
=
)
1
()
1
(
11
в
T
в
T
D
n
F
D
n
F
nn
−
δ−−
−
δ
−−
.
)(
1
хF
n
T
−
– функция распределения случайной величины
1−n
T . По
аналогии с квантилями, выражающими обращенную функцию
Решение. Из соотношения (9) следует, что Вероятность ошибки, т.е. того, что генеральное среднее не
| х −а| n накроется доверительным интервалом I = ( хв − δ , хв + δ ) рав-
γ = Р({ в n <δ }). (10)
σ σ на 1– γ .
В математической статистике доказана теорема: если Задача 2. Пусть объем выборки мал, но информации, хотя
( х − а) бы приближенной, о числовых значениях параметров исследуе-
Х = N (a, σ), то что случайная величина в n распределена мой нормальной генеральной совокупности нет. Построить до-
σ
верительный интервал с надежностью γ .
по нормальному закону с параметрами a = 0, σ = 1, т.е.
Решение. Из соотношения (9) следует:
( хв − а )
n = N(0, 1). Для случайной величины N(0, 1) составле- |х −а| n
σ γ = Р({ в n <δ }), (11)
ны подробные таблицы вероятностей, с которыми ее значения S2 S2
попадают в те или иные интервалы. Выше было указано, что где S 2 является точечной несмещенной оценкой по выборке
1 x для неизвестной σ . Здесь мы приходим к более сложной слу-
∫ ехр(− х / 2)dx –
2
Р({ 0 < N(0, 1) < х}) = Ф(х), где Ф(х) =
2π 0 ( хв − а )
чайной величине n = Tn −1 , распределенной по закону
интегральная функция Лапласа. Следовательно, с использовани- S2
ем симметрии Р({|N(0, 1)|< х}) = Р({0 < N(0, 1) < х}) + Стьюдента (Т-распределение). Известно, что Т-распределение
+ Р({ –x < N(0, 1) < 0}) = 2· Р({0 < N(0, 1) < х}) = 2·Ф(х). Теперь из имеет следующее представление:
(10) следует, что N (0,1)
Тn = n,
n χ 2n
γ = 2·Ф( δ ).
σ где χ n2 = N12 + ... + N n2 – так называемое распределение хи-квадрат
(распределение Пирсона) с n степенями свободы, Ni = N(0, 1).
Используя обратную функцию для Ф(х), получаем
Теперь из (11) следует, что
σ
δ = Ф–1( γ /2). |х −а| n −1
n γ = Р({ | хв − а |< δ }) = Р({ в n −1 < δ }) =
Dв Dв
Таким образом, доверительный интервал, в котором должна n − 1 хв − а n −1
содержаться оцениваемая величина хг , построен: = Р({ − δ < n −1 < δ }) =
Dв Dв Dв
I = ( хв − δ , хв + δ ) .
n −1 n −1
Следует учитывать, что границы этого интервала носят слу- = FTn−1 (δ ) − FTn−1 (−δ ).
чайный характер и зависят от конкретных выборочных данных, Dв Dв
от выборки. Поэтому корректнее говорить, что с вероятностью FTn−1 ( х) – функция распределения случайной величины Tn −1 . По
γ точное теоретическое значение математического ожидания
аналогии с квантилями, выражающими обращенную функцию
накрывается построенным доверительным интервалом.
51 52
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
