Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 27 стр.

          Этапы проверки статистических гипотез                            Э т а п 4. Построение критической области ω (α ) . Она явля-
                                                                       ется подобластью области допустимых значений критерия и по
    Э т а п 1. Выдвижение основной гипотезы Н 0 , которую на-          определению содержит такие значения К, при которых Н 0 сле-
зывают – нулевой. Кроме нее необходимо сформулировать аль-             дует отвергнуть. Если α уменьшается, то и критическая область
тернативную (конкурирующую) гипотезу Н1 .                              уменьшается. Вид ω существенно зависит от вида конкури-
                                                                       рующей гипотезы Н1 , кроме этого привлекаются соображения,
    Э т а п 2. Задается уровень значимости α , являющийся              связанные с увеличением мощности критерия. В результате кри-
достаточно малым числом, обычно 0.05; 0.01; 0.005. Уровень             тическую область ω обычно выбирают одного из трех видов:
значимости равен вероятности ошибки первого рода. При про-             левостороннюю, правостороннюю, двустороннюю (симметрич-
верке гипотез возможны 4 сценария:                                     ную).
    1) гипотеза Н 0 верна, но приняли альтернативную гипотезу
                                        (           )
Н1 , совершив ошибку первого рода: р Н1пр / Н 0 = α ;                      Э т а п 5. Вычисляется значение критерия К( x1 , x2 , ..., xn ) по
     2) гипотеза Н 0 верна, при этом Н1 отвергли, а приняли ос-        выборке. Если полученное значение К ∈ ω , то нулевая гипотеза
                                        (           )
новную гипотезу Н 0 – ошибки нет: р Н 0пр / Н 0 = 1 − α ;
                                                                       Н 0 отвергается, а конкурирующая Н1 принимается. При этом с
                                                                       вероятностью α может быть совершена ошибка первого рода.
    3) гипотеза Н 0 неверна, при этом приняли Н1 , а Н 0 от-
                                                                       Если же К ∉ ω , то Н 0 принимаем, а Н1 отвергаем. При этом с
вергли – ошибки нет;
                                                                       вероятностью β может быть совершена ошибка второго рода.
    4) гипотеза Н 0 неверна, но Н1 отвергли, а приняли Н 0 –
                                       (        )
совершается ошибка второго рода: р Н 0пр / Н1 = β .                             Проверка гипотез о параметрах генеральных
    Правильные решения могут быть двух видов: при втором                                          совокупностей
            (         )                                 (   )
сценарии р Н 0пр / Н 0 = 1 − α , и при третьем р Н1пр / Н1 = 1 − β .        Задача 1. Проверка гипотезы о числовом значении матема-
Эта вероятность называется мощностью критерия. Из формулы              тического ожидания нормальной генеральной совокупности
полной вероятности (см. п. 1.3) следует, что чем меньше α , тем        Х = N(а, σ ). Н 0 : а = а0. Точное теоретическое значение а – неиз-
больше β . При α = 0 Н 0 будет принята всегда, кроме того, в           вестно, σ – среднеквадратическое отклонение – известно из каких-
этом случае β = р ( Н1 ) .                                             либо соображений. Имеется выборка объема n: (x1, …, xn). Требу-
                                                                       ется ответить на вопрос: верна или нет гипотеза, что а = а0, со-
                                                                       вершая при этом ошибку первого рода с вероятностью не более
     Э т а п 3. Вводится критерий К = К( x1 ,..., xn ), являющийся     α.
случайной величиной, обладающей следующими свойствами:                      Решение
а) вычисляется по выборке; б) имеет известный (при верной ги-               Э т а п 1. Н 0 : а = а0. Н1 – альтернативная гипотеза, может
потезе Н 0 ) закон распределения; в) его величина позволяет су-        быть взята одного из трех видов:
дить о справедливости Н 0 .                                                 Случай 1. Н1 : а > а0 выбираем, когда значение К по выбор-
                                                                       ке – достаточно большое положительное число.

                                55                                                                      56