Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 28 стр.

    Случай 2. Н1 : а < а0, когда К – большое по модулю отрица-                            Случай 2. Н1 : а < а0, значит, ω = (−∞, x лев ,α ).
тельное число.                                                                            Основное соотношение Р ( K < x лев , α ) = α , следовательно,
    Случай 3. Н1 : а ≠ а0, в остальных ситуациях.
                                                                                                                                                                    1
                                                                                    α = Р ( N ∈ ( −∞, x лев , α )) = Φ ( x лев ,α ) − Φ (− ∞ ) = Φ ( x лев ,α ) − (− ) =
                                                                                                                                                                    2
     Э т а п 2. Зададим уровень значимости α = 0.05, 0.01, 0.005 .
                                                                                                      1
                                                                                    = Φ ( x лев ,α ) + ,
                                                                                                      2
                                                  xв − а0
     Э т а п 3. Построим критерий в виде К =              . В матема-                                              1                      ⎛     1⎞             ⎛1     ⎞
                                                  δ/ п                              значит, Φ ( x лев ,α ) = α − ; x лев ,α = Φ −1 ⎜ α − ⎟ = −Φ −1 ⎜ − α ⎟ .
                                                                                                                   2                      ⎝     2⎠             ⎝2     ⎠
тической статистике строго доказывается, что К = N (0, 1) . Это
                                                                                                                                  ⎛1      ⎞
случайная величина, ее конкретные значения получаются под-                              Окончательно, x лев , α = −Φ −1 ⎜ − α ⎟ .
                                                                                                                                  ⎝2      ⎠
становкой значения хв , вычисленного по выборке (х1, …, хn).
                                                                                        Случай 3. Н 1 : а ≠ а0. ω = (−∞, x лев , α / 2 ) ∪ ( xпр , α / 2 , ∞)
Так как К является нормированной нормальной случайной вели-
чиной, то Р (К ∈ (u1, u2)) = Ф (u2) – Ф (u1), где Ф – интегральная                      α α
                                                                                    α=    + = Р( К < x лев, α / 2 ) + Р( К > xпр , α / 2 ) =
функция Лапласа.                                                                        2 2
                                                                                    = Р( N ∈ (−∞, x лев,α / 2 )) + Р( N ∈ ( xпр ,α / 2 , ∞)) =
     Э т а п 4. Построение критической области ω :                                  = 2 Р( N ∈ ( xпр ,α / 2 , ∞)) = 2(Φ (∞) − Φ ( xпр ,α / 2 )) =
     Случай 1. Н1 : а > а0. Основное соотношение:                                       1
                                                                                    = 2( − Φ ( xпр ,α / 2 )) = 1 − 2Φ ( xпр ,α / 2 ) ,
     Р(К > xпр ,α ) = α ,                                                               2
ω = ( xпр ,α ,∞) . Найдем xпр ,α :                                                  следовательно, α = 1 − 2Φ ( xпр ,α / 2 ) . Значит 2Φ ( xпр ,α / 2 ) = 1 − α ,
α = Р(K > xпр,α ) = Р(N > xпр,α ) = Р (N ∈ (xпр α , ∞ )) = Φ (∞ ) − Φ (xпр ,α ) ,   xпр ,α / 2 = Φ −1 (
                                                                                                          1−α
                                                                                                              ) , в свою очередь, x лев , α / 2 = − xпр , α / 2 .
            1                        1                              1                                      2
но Φ (∞ ) =   , следовательно, α = − Φ ( xпр , α ) , Φ ( xпр , α ) = − α .
            2                        2                              2                    Э т а п 5. Вычисляем критерий К по выборке, сравниваем
                       1                                                            полученное значение с ω и отвергаем либо принимаем гипотезы
Отсюда xпр , α = Φ −1 ( − α ) – это значение может быть найдено с                   Н 0 и Н1 , оценивая при этом вероятность ошибки.
                       2
                                                                                        Пример. Проведено 16 замеров времени изготовления дета-
помощью таблиц для функции Лапласа. Функции Φ и Φ −1 –
монотонно возрастающие. Если уровень значимости α умень-                            ли. Среднее время изготовления детали xв = 48 с. Предполага-
                                             ⎛1       ⎞                             ется, что время изготовления подчиняется нормальному распре-
шается, то обратная функция Лапласа Φ −1 ⎜ − α ⎟ увеличивает-                       делению с дисперсией σ 2 = 9 с2. На уровне значимости α = 0.05
                                             ⎝2       ⎠
                                                                                    ответить на вопрос: можно ли принять значение 50 с в качестве
ся, xпр ,α увеличивается, соответственно, критическая область                       математического ожидания времени изготовления детали?
уменьшается.

                                      57                                                                                                 58