Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 30 стр.

    Проверка гипотезы о виде распределения генеральной                   i        z i −1 ÷ z i    ni   ( zi −1 − xв )
                                                                                                                         Ф(
                                                                                                                              ( zi −1 − xв )
                                                                                                                                               )       pi    np i   (ni − npi ) 2
         совокупности. Критерий согласия Пирсона                                                             S2                     S2                                  npi
    Нередко в приложениях математической статистики фигу-
                                                                         1            –∞,         4      –∞                    –0.5                   0.08   4            0
рируют задачи, в которых закон распределения генеральной со-
вокупности заранее неизвестен, но есть основания предполо-                            4.75
жить, выдвинуть гипотезу, что он имеет определённый вид.                 2           4.75,        11      –1.4               –0.419                   0.2    10         0.1
Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного рас-                          6.05
пределения производится так же, как и проверка гипотезы о па-            3           6.05,        15     –0.57               –0.216                   0.38   19        0.84
раметрах распределения, т.е. при помощи специально подобран-                         7.35
ной случайной величины – критерия согласия (или критерия χ2)             4           7.35,        13       0.3                 0.12                   0.26   13           0
К. Пирсона. С этой целью сравниваются эмпирические ni (на-                           8.65
блюдаемые) и теоретические n'i (вычисленные в предположении              5           8.65,        7       1.17                 0.38                   0.12   6         0.15
о правильности гипотезы) частоты.                                                     ∞
    Приступим к проверке нулевой гипотезы: генеральная сово-             –            –           –       ∞         0.5                                –     –      –
купность распределена нормально. В качестве критерия провер-
ки нулевой гипотезы применяем случайную величину
                                                                        ∑                         50      –          –                                 1    50    1.09
                               m                                             Таким               образом,   наблюдаемое                            значение    критерия
                         χ =∑
                           2
                                      (ni − ni' ) 2   ni'   .   (12)          m

                               i =1                                    χ 2 = ∑ (ni − ni' ) 2 ni' = 1.09. Теперь по таблице критических точек
                                                                              i =1
     Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теорети-
ческие частоты, тем меньше величина критерия (12), следователь-        распределения χ2, по заданному уровню значимости α и числу
но, он в некоторой степени характеризует близость эмпирического        степеней свободы k = 2 находим критическую точку χ2кр(α; k).
и теоретического распределений. Доказано, что случайная величи-        Если χ2набл < χ2кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
на (12) распределена по закону χ2 с k степенями свободы. Число         Если χ2набл > χ2кр – нулевая гипотеза отвергается, а принимается
степеней свободы находят по формуле k = m – 1 – r, где m – число       конкурирующая гипотеза, состоящая в том, что исследуемая ге-
интервалов в группированном статистическом ряде, а r – число па-       неральная совокупность имеет другой (отличный от нормально-
раметров предполагаемого распределения, которые оценены по             го) закон распределения.
данным выборки. Если предполагаемое распределение – нормаль-
ное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и                                Вопросы для самопроверки
среднее квадратическое отклонение), поэтому r = 2. Основным для              1. Что понимается под статистической гипотезой?
проверки гипотезы на уровне значимости α служит соотношение:                 2. Перечислить этапы проверки статистических гипотез.
                       Р(χ2 >χ2кр(α; k)) = α.                                3. Дать определение ошибки первого и второго рода.
     Если гипотеза Н0 несправедлива, то критерий принимает                   4. Как связана величина уровня значимости с границами
большое положительное значение, поэтому строим правосто-                        критической области?
роннюю критическую область, определяемую неравенством                        5. Какова связь между выбором вида конкурирующей ги-
χ2 >χ2кр(α; k).                                                                 потезы и типом критической области?
     Таблица расчета χ2набл имеет следующий вид (в качестве                  6. Привести виды критериев, используемых в задачах о
примера взят случай выборки, на основе которой построен груп-                   проверке статистических гипотез.
пированный статистический ряд, m = 5):
                                61                                                                                      62