Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

65
3.
Процесс с непрерывным временем и непрерывным со-
стоянием.
4.
Процесс с непрерывным временем и дискретным состоя-
нием.
Случайный процесс V(t) (пример 1) – с непрерывным време-
нем и непрерывным состоянием. Случайный процесс N(t) (при-
мер 2) – с непрерывным временем и дискретным состоянием.
В ряде задач случайные процессы удобно выражать через
простейшие (или элементарные) случайные процессы. Элемен-
тарным процессом
будем называть процесс φ(t,
ω
) с разделяю-
щимися переменными: φ(t,
ω
) =
φ
(t)X
0
, где
φ
– неслучайная
функция, X
0
– случайная величина. Приведем примеры элемен-
тарных случайных процессов.
1. X(t) = e
t−
X
0
, где X
0
– случайная величина, равномерно
распределенная на отрезке [0, 1], t > 0.
2. X(t) = e
t−
X
0
, где X
0
– дискретная случайная величина,
t> 0.
3. X(t) = сt + N(0, 1), где с = const, N(0, 1) – нормально рас-
пределенная случайная величина с параметрами а = 0, σ = 1,
t∈Т.
4. X(t) = N(0, 1)cos (сt), где с = const, t
∈
[t
1
, t
2
].
Основные характеристики случайных процессов
В теории вероятностей случайную величину полностью ха-
рактеризует закон распределения: F(x) = P(X<x), x
∈
R. Для слу-
чайного процесса определены законы распределения:
F(t, x) = P(X(t) < x), t
∈
Т, x
∈
R – одномерный закон распределения слу-
чайного процесса X(t) и F(t
1
, …, t
n
, x
1
, …, x
n
) = P(X(t
1
) < x
1
, …, X(t
n
) <
< x
n
), t ∈Т, x
1
, …, x
n
∈
R, t
1
, …, t
n
∈Т – многомерный закон рас-
66
пределения случайного процесса X(t). Ясно, что двумерный (при
n = 2) закон распределения полнее характеризует случайный
процесс X(t), чем одномерный (n = 1). Более того, чем больше n,
тем более полно многомерный закон характеризует случайный
процесс. Однако использование закона распределения при боль-
ших n в связи с большим количеством аргументов на
практике
вызывает затруднения. Поэтому используют характеристики,
описывающие случайные процессы частично.
Первой и важнейшей характеристикой случайного процесса
X(t) является его математическое ожидание:
m
x
(t)
≡
M [Х(t)] = ),( хtFхd
х
∫
∞
∞−
, (13)
где ),( xtF – одномерная функция распределения случайного
процесса X(t). Другими словами, математическим ожиданием
случайного процесса X(t) называется неслучайная функция m
x
(t),
которая при любом значении аргумента t равна математическо-
му ожиданию соответствующего сечения случайного процесса.
Если X(t) – случайный процесс с дискретным состоянием,
для которого при каждом t можно записать закон распределения
то формула (13) примет вид
m
x
(t)
≡
M[Х(t)] =
)()( tptх
i
n
1i
i
∑
=
.
Если же X(t) – случайный процесс с непрерывным состоя-
нием, т.е. существует плотность распределения случайного про-
цесса X(t),
),(),( xtpxtF
x
=
∂
∂
, тогда по формуле (13) получим
Х(t) х
1
(t) х
2
(t)
...
х
i
(t)
...
х
n
(t)
p(t) р
1
(t) р
2
(t)
...
р
i
(t)
...
р
n
(t) 
    3. Процесс с непрерывным временем и непрерывным со-                      пределения случайного процесса X(t). Ясно, что двумерный (при
стоянием.                                                                    n = 2) закон распределения полнее характеризует случайный
    4. Процесс с непрерывным временем и дискретным состоя-                   процесс X(t), чем одномерный (n = 1). Более того, чем больше n,
нием.                                                                        тем более полно многомерный закон характеризует случайный
    Случайный процесс V(t) (пример 1) – с непрерывным време-                 процесс. Однако использование закона распределения при боль-
нем и непрерывным состоянием. Случайный процесс N(t) (при-                   ших n в связи с большим количеством аргументов на практике
мер 2) – с непрерывным временем и дискретным состоянием.                     вызывает затруднения. Поэтому используют характеристики,
    В ряде задач случайные процессы удобно выражать через                    описывающие случайные процессы частично.
простейшие (или элементарные) случайные процессы. Элемен-                         Первой и важнейшей характеристикой случайного процесса
тарным процессом будем называть процесс φ(t, ω ) с разделяю-                 X(t) является его математическое ожидание:
щимися переменными: φ(t, ω ) = φ (t)X 0 , где φ – неслучайная                                                     ∞


функция, X 0 – случайная величина. Приведем примеры элемен-
                                                                                          m x (t) ≡ M [Х(t)] =    ∫ хd х F (t , х) ,                   (13)
                                                                                                                  −∞

тарных случайных процессов.                                                  где F (t , x) – одномерная функция распределения случайного
                −t
     1. X(t) = e X 0 , где X 0 – случайная величина, равномерно              процесса X(t). Другими словами, математическим ожиданием
распределенная на отрезке [0, 1], t > 0.                                     случайного процесса X(t) называется неслучайная функция mx(t),
                                                                             которая при любом значении аргумента t равна математическо-
     2. X(t) = e − t X 0 , где X 0 – дискретная случайная величина,
                                                                             му ожиданию соответствующего сечения случайного процесса.
t> 0.
                                                                                 Если X(t) – случайный процесс с дискретным состоянием,
     3. X(t) = сt + N(0, 1), где с = const, N(0, 1) – нормально рас-
                                                                             для которого при каждом t можно записать закон распределения
пределенная случайная величина с параметрами а = 0, σ = 1,
t∈Т.                                                                               Х(t)        х1(t)    х2(t)          ...       хi(t)   ...   хn(t)
     4. X(t) = N(0, 1)cos (сt), где с = const, t ∈[t1, t2].                        p(t)        р1(t)    р2(t)          ...       рi(t)   ...   рn(t)

         Основные характеристики случайных процессов                         то формула (13) примет вид
      В теории вероятностей случайную величину полностью ха-                                                n

рактеризует закон распределения: F(x) = P(X

Страницы