Составители:
Рубрика:
67
m
x
(t)
≡
M[Х(t)] =
∫
∞
∞−
dxxtxp ),( .
Свойства математического ожидания
Пусть Ψ(t) – неслучайная функция а X(t), Y(t) – случайные
процессы. Тогда имеют место следующие свойства математиче-
ского ожидания.
1. M[Ψ(t)] = Ψ(t).
2. M [Ψ(t) X(t)] = Ψ(t) M[X(t)] = Ψ(t) m
x
(t).
3. M [X(t) + Y(t)] = m
x
(t) + m
y
(t)).
4. Назовем
)()()( tmtXtX
x
−=
o
– центрированным случай-
ным процессом. Тогда M[
)(tX
o
] = 0.
Данные свойства вытекают из аналогичных свойств для случай-
ных величин, рассмотренных в п. 1.4.
Дисперсия случайного процесса и ее свойства
Определение: D
x
(t)
≡
D[Х(t)] = ]))(([
2
tXМ
o
– дисперсия слу-
чайного процесса X(t).
Пусть Ψ(t) – неслучайная функция, X(t) – случайный про-
цесс. Тогда имеют место следующие свойства дисперсии слу-
чайного процесса.
1.
D[Ψ(t)] = 0.
2.
D[X(t) + Ψ(t)] = D
x
(t).
3.
D[X(t)Ψ(t)] = Ψ² (t) D
x
(t).
Свойства 1–3 вытекают из соответствующих свойств для
сечений X(t) и Ψ(t) в курсе теории вероятностей (см. п. 1.4).
Следствием определения дисперсии и ее свойств является
следующая формула:
68
D
x
(t) = M[(Х(t) – m
x
(t))²] = M[(Х(t))²] – (m
x
(t))².
Корреляционная функция случайного процесса
и ее свойства
Для оценки зависимости сечений случайного процесса в
разные моменты времени X(t
1
) и X(t
2
) вводят корреляционную
функцию
),(
21
ttK
x
= M[
)(
1
tX
o
)(
2
tX
o
]. (14)
Если Х(t) – процесс с непрерывным состоянием, то
),(
21
ttK
x
=
∫
∞
∞−
,),,,())())(((
2121212211
dxdxxxttptmxtmx
xx
−−
∫
∞
∞−
где
),,,(
2121
xxttp
– совместная плотность распределения двух
сечений случайного процесса Х(t).
Таким образом, корреляционная функция ),(
21
ttK
x
– неслу-
чайная функция двух аргументов t
1
и t
2
, выражает степень ли-
нейной зависимости между двумя случайными величинами Х(t
1
)
и Х(t
2
) (степень зависимости между сечениями одного случайно-
го процесса X(t)).
Установим справедливость следующих свойств корреляци-
онной функции.
1.
),( ttK
x
= D
x
(t).
2. ),(
21
ttK
x
= ).,(
12
ttK
x
3. ),(
21
ttK
x
= ),,(
21
ttK
y
где Y(t) = X(t)+ φ(t), φ(t) – неслучай-
ная функция.
4. ),(
21
ttK
y
= φ(t
1
) φ(t
2
) ),(
21
ttK
x
, где Y(t) = φ(t) X(t), φ(t) – не-
случайная функция.
5. Пусть Х(t
1
) и Х(t
2
) – независимые случайные величины для
каждого t
1
≠ t
2
. Тогда
),(
21
ttK
x
= 0 при t
1
≠ t
2
,
),(
21
ttK
x
= D
x
(t)
при t
1
= t
2
= t.
∞ Dx(t) = M[(Х(t) – mx (t))²] = M[(Х(t))²] – (mx (t))².
m x (t) ≡ M[Х(t)] = ∫ xp(t , x)dx .
−∞
Корреляционная функция случайного процесса
и ее свойства
Свойства математического ожидания Для оценки зависимости сечений случайного процесса в
Пусть Ψ(t) – неслучайная функция а X(t), Y(t) – случайные
разные моменты времени X(t1) и X(t2) вводят корреляционную
процессы. Тогда имеют место следующие свойства математиче-
функцию
ского ожидания. o o
1. M[Ψ(t)] = Ψ(t). K x (t1 , t 2 ) = M[ X (t1 ) X (t 2 ) ]. (14)
2. M [Ψ(t) X(t)] = Ψ(t) M[X(t)] = Ψ(t) mx(t). Если Х(t) – процесс с непрерывным состоянием, то
3. M [X(t) + Y(t)] = mx(t) + my(t)). ∞ ∞
o K x (t1 , t 2 ) = ∫ ∫ ( x1 − mx (t1 ))( x2 − mx (t2 )) p(t1 , t2 , x1 , x2 )dx1dx2 ,
4. Назовем X (t ) = X (t ) − mx (t ) – центрированным случай- −∞ −∞
o где p (t1 , t2 , x1 , x2 ) – совместная плотность распределения двух
ным процессом. Тогда M[ X (t ) ] = 0.
сечений случайного процесса Х(t).
Данные свойства вытекают из аналогичных свойств для случай- Таким образом, корреляционная функция K x (t1 , t 2 ) – неслу-
ных величин, рассмотренных в п. 1.4. чайная функция двух аргументов t1 и t2, выражает степень ли-
нейной зависимости между двумя случайными величинами Х(t1)
Дисперсия случайного процесса и ее свойства и Х(t2) (степень зависимости между сечениями одного случайно-
o го процесса X(t)).
Определение: Dx(t) ≡ D[Х(t)] = М [( X (t )) 2 ] – дисперсия слу- Установим справедливость следующих свойств корреляци-
чайного процесса X(t). онной функции.
Пусть Ψ(t) – неслучайная функция, X(t) – случайный про- 1. K x (t , t ) = Dx(t).
цесс. Тогда имеют место следующие свойства дисперсии слу- 2. K x (t1 , t 2 ) = K x (t2 , t1 ).
чайного процесса. 3. K x (t1 , t2 ) = K y (t1 , t 2 ), где Y(t) = X(t)+ φ(t), φ(t) – неслучай-
1. D[Ψ(t)] = 0. ная функция.
2. D[X(t) + Ψ(t)] = Dx(t). 4. K y (t1 , t 2 ) = φ(t1) φ(t2) K x (t1 , t 2 ) , где Y(t) = φ(t) X(t), φ(t) – не-
3. D[X(t)Ψ(t)] = Ψ² (t) Dx(t). случайная функция.
Свойства 1–3 вытекают из соответствующих свойств для 5. Пусть Х(t1) и Х(t2) – независимые случайные величины для
сечений X(t) и Ψ(t) в курсе теории вероятностей (см. п. 1.4). каждого t1 ≠ t2. Тогда K x (t1 , t 2 ) = 0 при t1 ≠ t2, K x (t1 , t 2 ) = Dx(t)
Следствием определения дисперсии и ее свойств является при t1 = t2 = t.
следующая формула:
67 68
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
