Составители:
Рубрика:
71
Х(t
1
) и Х(t
2
) линейно зависимы.
Взаимная корреляционная функция и ее свойства
Для оценки степени зависимости двух случайных процессов
X(t) и Y(t) вводится взаимная корреляционная функция
),(
21xy
ttR = M[
)(
1
tX
o
)(
2
tY
o
].
Случайные процессы X(t) и Y(t) называют коррелированны-
ми, если ),(
21
ttR
xy
≠0 для некоторых t
1
, t
2
, и некоррелированными,
если ),(
21
ttR
xy
= 0 для всех t
1
, t
2
.
Свойства ),(
21
ttR
xy
.
1. ),(
21
ttR
xy
= ),(
12
ttR
yx
.
2. Пусть X
1
(t) = X(t)+φ(t), Y
1
(t) = Y(t)+
φ
(t), где φ(t),
φ
(t) –
неслучайные функции. Тогда ),(
21
11
ttR
yx
= ),(
21
ttR
xy
.
3. Пусть X
1
(t) = X(t)φ(t), Y
1
(t) = Y(t)
φ
(t), где φ(t),
φ
(t) – неслу-
чайные функции. Тогда
),(
21
11
ttR
yx
= φ(t
1
)
φ
(t
2
) ),(
21
ttR
xy
.
Свойства 1–3 доказываются точно так же, как аналогичные
свойства для корреляционной функции.
Нормированная взаимная корреляционная функция
),(
21
tt
хy
ρ = ),(
21
ttR
xy
/(
x
σ
(t
1
)
y
σ
(t
2
)) – называется нормиро-
ванной взаимной корреляционной функцией, здесь
x
σ
(t) = (D
x
(t))
½
,
y
σ
( t ) = (D
y
(t))
½
.
Нормированная взаимная корреляционная функция имеет те
же свойства, что и нормированная корреляционная функция, в
частности,
| ),(
21
tt
хy
ρ | ≤ 1.
72
Характеристики суммы случайных функций
Пусть X(t) и Y(t) – случайные функции. Положим Z(t) = X(t) +
+ Y(t). Тогда по свойству 3 математического ожидания имеем
m
z
(t) = m
x
(t) + m
y
(t).
Cправедливо утверждение:
),(
21
ttK
z
= ),(
21
ttK
x
+ ),(
21
ttK
y
+ ),(
21
ttR
xy
+),(
12
ttR
xy
.
Доказательство. По определению
),(
21
ttK
z
= M[
)(
1
tZ
o
)(
2
tZ
o
]. (15)
Найдем выражение для )(tZ
o
и подставим его в правую часть
равенства (15). Для этого докажем, что )(tZ
o
= )(tX
o
+)(tY
o
. Дейст-
вительно )(tZ
o
= Z(t) – m
z
(t) = X(t)+ Y(t) – M[X(t)+ Y(t)]= )(tX
o
+
+ )(tY
o
. Подставляя в (15) и привлекая свойство 3 математиче-
ского ожидания, получим:
),(
21
ttK
z
= M[( )(
1
tX
o
+ )(
1
tY
o
)( )(
2
tX
o
+ )(
2
tY
o
)] = M[)(
1
tX
o
)(
2
tX
o
+
+ )(
1
tY
o
)(
2
tY
o
+ )(
1
tX
o
)(
2
tY
o
+ )(
2
tX
o
)(
1
tY
o
] = M[)(
1
tX
o
)(
2
tX
o
] +
+ M[)(
1
tY
o
)(
2
tY
o
]+M[)(
1
tX
o
)(
2
tY
o
]+M[)(
2
tX
o
)(
1
tY
o
].
Согласно определениям корреляционной функции и взаимной
корреляционной функции утверждение доказано.
Следствие 1. Пусть X(t) и Y(t) – некоррелированные случай-
ные функции (т.е. ),(
21
ttR
xy
= 0 для всех t
1
, t
2
).
Тогда
),(
21
ttK
z
=
),(
21
ttK
x
+ ),(
21
ttK
y
, D
z
(t) = D
x
(t)+D
y
(t).
Х(t1) и Х(t2) линейно зависимы. Характеристики суммы случайных функций
Пусть X(t) и Y(t) – случайные функции. Положим Z(t) = X(t) +
Взаимная корреляционная функция и ее свойства + Y(t). Тогда по свойству 3 математического ожидания имеем
Для оценки степени зависимости двух случайных процессов m z (t) = m x (t) + m y (t).
X(t) и Y(t) вводится взаимная корреляционная функция Cправедливо утверждение:
o o
Rxy (t1 , t2 ) = M[ X (t1 ) Y (t2 ) ]. K z (t1 , t2 ) = K x (t1 , t2 ) + K y (t1 , t 2 ) + Rxy (t1 , t 2 ) + Rxy (t 2 , t1 ) .
Случайные процессы X(t) и Y(t) называют коррелированны- Доказательство. По определению
o o
ми, если Rxy (t1 , t 2 ) ≠0 для некоторых t1, t2, и некоррелированными, K z (t1 , t2 ) = M[ Z (t1 ) Z (t2 ) ]. (15)
если Rxy (t1 , t2 ) = 0 для всех t1, t2. o
Найдем выражение для Z (t ) и подставим его в правую часть
Свойства Rxy (t1 , t2 ) . o o o
1. Rxy (t1 , t2 ) = R yx (t2 , t1 ) . равенства (15). Для этого докажем, что Z (t ) = X (t ) + Y (t ) . Дейст-
o o
2. Пусть X1(t) = X(t)+φ(t), Y1(t) = Y(t)+ φ (t), где φ(t), φ (t) – вительно Z (t ) = Z(t) – mz(t) = X(t)+ Y(t) – M[X(t)+ Y(t)]= X (t ) +
неслучайные функции. Тогда Rx1 y1 (t1 , t2 ) = Rxy (t1 , t 2 ) . o
+ Y (t ) . Подставляя в (15) и привлекая свойство 3 математиче-
3. Пусть X1(t) = X(t)φ(t), Y1(t) = Y(t) φ (t), где φ(t), φ (t) – неслу- ского ожидания, получим:
чайные функции. Тогда Rx1 y1 (t1 , t2 ) = φ(t1) φ (t2) Rxy (t1 , t2 ) . o o o o o o
K z (t1 , t2 ) = M[( X (t1 ) + Y (t1 ) )( X (t 2 ) + Y (t2 ) )] = M[ X (t1 ) X (t 2 ) +
Свойства 1–3 доказываются точно так же, как аналогичные
o o o o o o o o
свойства для корреляционной функции. + Y (t1 ) Y (t2 ) + X (t1 ) Y (t2 ) + X (t2 ) Y (t1 ) ] = M[ X (t1 ) X (t2 ) ] +
o o o o o o
Нормированная взаимная корреляционная функция + M[ Y (t1 ) Y (t2 ) ]+M[ X (t1 ) Y (t2 ) ]+M[ X (t 2 ) Y (t1 ) ].
ρ хy (t1 , t2 ) = Rxy (t1 , t2 ) /( σ x (t1) σ y (t2)) – называется нормиро-
Согласно определениям корреляционной функции и взаимной
ванной взаимной корреляционной функцией, здесь корреляционной функции утверждение доказано.
σ x (t) = (Dx(t))½, σ y ( t ) = (D y (t))½. Следствие 1. Пусть X(t) и Y(t) – некоррелированные случай-
Нормированная взаимная корреляционная функция имеет те ные функции (т.е. Rxy (t1 , t 2 ) = 0 для всех t1, t2).
же свойства, что и нормированная корреляционная функция, в Тогда K z (t1 , t2 ) = K x (t1 , t2 ) + K y (t1 , t 2 ) , Dz(t) = Dx(t)+Dy(t).
частности, | ρ хy (t1 , t2 ) | ≤ 1.
71 72
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
