Составители:
Рубрика:
73
В самом деле, первое равенство следствия 1 вытекает из до-
казанного утверждения при ),(
21
ttR
xy
= ),(
12
ttR
xy
= 0, второе
следует из первого при t
1
= t
2
= t.
Следствие 2. Пусть в условиях следствия 1 Y(t) ≡ Y – слу-
чайная величина. Тогда ),(
21
ttK
z
= ),(
21
ttK
x
+ D
y
. Доказательст-
во следует из формулы ),(
21
ttK
y
= M[
o
Y
o
Y
] = D
y
и следствия 1.
Пример. Пусть X(t) = tU, Y(t) = t²V, где U и V – некорре-
лированные случайные величины (
uv
R = 0), причем M(U) = 3,
M(V) = 5, D(U) = 6, D(V) = 0.2. Найдем m
z
(t), D
z
(t), ),(
21
ttK
z
, где
Z(t) = X(t) + Y(t).
Согласно свойствам математического ожидания
M[Z(t)] = M[X(t)] + M[Y(t)] = 3t + 5t². Из следствия 1 получим
),(
21
ttK
z
=
),(
21
ttK
x
+),(
21
ttK
y
. Вычислим
),(
21
ttK
x
и ),(
21
ttK
y
.
Имеем
),(
21x
ttK = M[)(
1
tX
o
)(
2
tX
o
] = M[t
1
o
U t
2
o
U ] =
= t
1
t
2
M[
o
U
o
U ] = t
1
t
2
D(U) = 6 t
1
t
2
. Аналогичным образом полу-
чим ),(
21
ttK
y
= 0.2(t
1
t
2
)
2
. Следовательно,
),(
21
ttK
z
= 6
1
t
2
t
+
+ 0.2 (t
1
t
2
)
2
, D
z
(t) = ),( ttK
z
= 6t
2
+0.2t
4
.
Производная и интеграл от случайной функции
Введем понятие среднеквадратичной сходимости последо-
вательности случайных функций X
1
(t), …, X
n
(t). Последователь-
ность случайных функций X
1
(t), …, X
n
(t) сходится в среднеквад-
ратичном к X(t), если
∞→n
lim M[(X
n
(t) – X(t))²] = 0.
Тогда X(t) – называется пределом в среднеквадратичном и
вводится обозначение: X(t) = l.i.m. X
n
(t), n → ∞.
74
Случайная функция X(t) дифференцируема в точке t если
существует случайная функция
X
′
(t) такая, что
0
lim
→Δt
M[(X(t + ∆t) – X(t))/∆t –
X
′
(t)]
2
= 0,
или
X
′
(t) = l.i.m. (X(t+ ∆t)–X(t))/∆t, ∆t→0.
Теорема 1. Пусть существует производная случайной функ-
ции X(t) в точке t. Тогда
m
x
′
(t) =
t
∂
∂
m
x
(t).
Доказательство. Имеем
X
′
(t) l.i.m. (X(t+ ∆t)–X(t))/∆t, ∆t→∞.
Тогда M[
X
′
(t)] = M[
0
l.i.m
→t
Δ
(X(t+∆t)–X(t))/∆t] =
0
lim
→Δt
M[(X(t+∆t)–
– X(t))
/∆t] =
0
lim
→Δt
(m
x
(t+∆t)– m
x
(t)) /∆t =
t
∂
∂
m
x
(t).
Здесь использовалось (без доказательства) следующее свойство
математического ожидания:
M[
0
l.i.m
→t
Δ
(X(t+∆t)] =
0
lim
→Δt
M[X(t+∆t)].
Теорема 2. Пусть существует производная случайной функ-
ции X(t) в точках t = t
1
и t = t
2
.Тогда
),(
21
ttK
x
′
=
21
2
tt ∂∂
∂
),(
21
ttK
x
.
Доказательство. По определению имеем
),(
21x
ttK
′
=
= M[
)(
1
tX
o
′
)(
2
tX
o
′
], где
)(
1
tX
o
′
)(
2
tX
o
′
=
21
2
tt ∂∂
∂
(
)(
1
tX
o
)(
2
tX
o
). То-
гда по теореме 1 получим требуемое равенство
),(
21
ttK
x
′
=
21
2
tt ∂∂
∂
M[)(
1
tX
o
)(
2
tX
o
] =
21
2
tt ∂∂
∂
),(
21
ttK
x
.
Пример. Пусть ),(
21
ttK
x
= 2 t
1
t
2
. Найдем ),(
21
ttK
x
′
.
В самом деле, первое равенство следствия 1 вытекает из до- Случайная функция X(t) дифференцируема в точке t если
казанного утверждения при Rxy (t1 , t2 ) = Rxy (t2 , t1 ) = 0, второе существует случайная функция X ′ (t) такая, что
следует из первого при t1 = t2 = t. lim M[(X(t + ∆t) – X(t))/∆t – X ′ (t)]2 = 0,
Δt → 0
Следствие 2. Пусть в условиях следствия 1 Y(t) ≡ Y – слу- или X ′ (t) = l.i.m. (X(t+ ∆t)–X(t))/∆t, ∆t→0.
чайная величина. Тогда K z (t1 , t2 ) = K x (t1 , t2 ) + Dy. Доказательст- Теорема 1. Пусть существует производная случайной функ-
o o ции X(t) в точке t. Тогда
во следует из формулы K y (t1 , t 2 ) = M[ Y Y ] = Dy и следствия 1.
∂
Пример. Пусть X(t) = tU, Y(t) = t²V, где U и V – некорре- m x′ (t) = mx(t).
∂t
лированные случайные величины ( Ruv = 0), причем M(U) = 3, Доказательство. Имеем X ′ (t) l.i.m. (X(t+ ∆t)–X(t))/∆t, ∆t→∞.
M(V) = 5, D(U) = 6, D(V) = 0.2. Найдем mz(t), Dz(t), K z (t1 , t2 ) , где Тогда M[ X ′ (t)] = M[ l.i.m (X(t+∆t)–X(t))/∆t] = lim M[(X(t+∆t)–
Δt → 0 Δt → 0
Z(t) = X(t) + Y(t).
∂
Согласно свойствам математического ожидания – X(t))/∆t] = lim (mx(t+∆t)– mx(t)) /∆t =mx(t).
Δt → 0 ∂t
M[Z(t)] = M[X(t)] + M[Y(t)] = 3t + 5t². Из следствия 1 получим
Здесь использовалось (без доказательства) следующее свойство
K z (t1 , t2 ) = K x (t1 , t 2 ) + K y (t1 , t 2 ) . Вычислим K x (t1 , t 2 ) и K y (t1 , t 2 ) .
математического ожидания:
o o o o
Имеем K x (t1 , t2 ) = M[ X (t1 ) X (t 2 ) ] = M[t1 U t2 U ] = M[ l.i.m (X(t+∆t)] = lim M[X(t+∆t)].
Δt → 0 Δt → 0
o o
Теорема 2. Пусть существует производная случайной функ-
= t1 t2 M[ U U ] = t1 t2 D(U) = 6 t1 t2. Аналогичным образом полу-
ции X(t) в точках t = t1 и t = t2.Тогда
чим K y (t1 , t 2 ) = 0.2(t1 t2)2. Следовательно, K z (t1 , t2 ) = 6 t1 t2 +
∂2
+ 0.2 (t1 t2)2, Dz(t) = K z (t , t ) = 6t2+0.2t4. K x ′ (t1 , t2 ) = K x (t1 , t2 ) .
∂t1∂t 2
Доказательство. По определению имеем K x′ (t1 , t2 ) =
Производная и интеграл от случайной функции
Введем понятие среднеквадратичной сходимости последо-
o o o o ∂2 o o
= M[ X ′(t1 ) X ′(t2 ) ], где X ′(t1 ) X ′(t 2 ) = ( X (t1 ) X (t 2 ) ). То-
вательности случайных функций X1(t), …, Xn(t). Последователь- ∂t1∂t 2
ность случайных функций X1(t), …, Xn(t) сходится в среднеквад- гда по теореме 1 получим требуемое равенство
ратичном к X(t), если ∂2 o o ∂2
K x ′ (t1 , t2 ) = M[ X (t1 ) X (t 2 ) ] = K x (t1 , t 2 ) .
lim M[(Xn(t) – X(t))²] = 0. ∂t1∂t 2 ∂t1∂t 2
n →∞
Тогда X(t) – называется пределом в среднеквадратичном и Пример. Пусть K x (t1 , t 2 ) = 2 t1 t2. Найдем K x ′ (t1 , t2 ) .
вводится обозначение: X(t) = l.i.m. Xn(t), n → ∞.
73 74
