Составители:
Рубрика:
75
По теореме 2 имеем ),(
21
ttK
x
′
= 2.
Теорема 3. Пусть существует производная случайной
функции X(t) в точках t = t
1
и t = t
2
.Тогда
),(
21
ttR
xx
′
=
1
t∂
∂
),(
21
ttK
x
, ),(
21
ttR
xx
′
=
2
t∂
∂
),(
21
ttK
x
.
По определению взаимной корреляционной функции, с уче-
том теоремы 1 и определения корреляционной функции, имеем
),(
21
ttR
xx
′
= M[ )(
1
tX
o
′
)(
2
tX
o
] = M[
1
t∂
∂
(
)(
1
tX
o
) )(
2
tX
o
] =
=
1
t∂
∂
M[)(
1
tX
o
)(
2
tX
o
] =
1
t∂
∂
),(
21
ttK
x
.
Второе равенство в теореме 3 доказывается аналогично.
Интеграл от случайной функции и его характеристики
Интегралом от случайной функция X(t) по отрезку [0, T] на-
зывают следующую величину:
∞→N
lim
∑
=
N
1i
ii
ttX
Δ
)( =
∫
T
dttX
0
)(, где
i
tΔ = T/N, t
i
= i
i
t
Δ
, i = 1, ..., N.
Здесь предполагается, что случайная функция X(t) имеет непре-
рывную траекторию на отрезке [0, T].
Теорема 1. Пусть Y(t) =
∫
t
dssX
0
)( , t > 0.
Тогда m
y
(t) =
∫
t
x
dssm
0
)(
, t > 0.
Доказательство. По определению интеграла
Y(t) =
∞→N
l.i.m.
∑
=
Δ
N
i
ii
ssX
1
)(
, где
i
sΔ
= T/N, s
i
= i
i
s
Δ
, i = 1, ..., N.
76
Тогда, согласно свойствам математического ожидания и оп-
ределению интеграла от неслучайной функции, имеем
M[Y(t)] = M[.l.i.m
∞→N
∑
=
Δ
N
i
ii
ssX
1
)(
] =
∞→N
lim M[
∑
=
Δ
N
i
ii
ssX
1
)(
] =
=
∞→N
lim
∑
=
Δ
N
i
ii
ssXM
1
])([
=
∞→N
lim
∑
=
Δ
N
i
iix
ssm
1
)(
=
∫
t
x
dssm
0
)( .
Теорема 2. Пусть Y(t) =
∫
t
dssX
0
)(, t > 0.
Тогда ),(
21
ttK
y
=
∫
1
0
t
∫
2
0
t
),(
21
ssK
x
ds
1
ds
2
.
Доказательство. По определению корреляционной функции
),(
21
ttK
y
= M[)(
1
tY
o
)(
2
tY
o
]. (16)
Найдем выражение для )(
1
tY
o
)(
2
tY
o
и подставим его в пра-
вую часть равенства (16). Из определения центрированной слу-
чайной функции (см. свойство 4 математического ожидания) и
теоремы 1 имеем
)(tY
o
=
∫
t
dssX
0
)(–M[
∫
t
dssX
0
)(] =
∫
t
dssX
0
)(–
∫
t
x
dssm
0
)( =
∫
t
dssX
0
)(
o
.
Тогда )(
1
tY
o
)(
2
tY
o
=
∫
1
0
11
)(
t
dssX
o
∫
2
0
22
)(
t
dssX
o
.
Полученное выражение подставим в правую часть равенст-
ва (16), с учетом теоремы 1 и определения корреляционной
функции, приходим к соотношениям:
),(
21
ttK
y
= M[
∫
1
0
11
)(
t
dssX
o
∫
2
0
22
)(
t
dssX
o
] =
По теореме 2 имеем K x ′ (t1 , t2 ) = 2. Тогда, согласно свойствам математического ожидания и оп-
Теорема 3. Пусть существует производная случайной ределению интеграла от неслучайной функции, имеем
N N
функции X(t) в точках t = t1 и t = t2.Тогда M[Y(t)] = M[ l.i.m .
N →∞
∑ X ( si )Δsi ] = lim M[ ∑ X ( si )Δsi ] =N →∞
∂ ∂ i =1 i =1
Rx ′x (t1 , t 2 ) = K x (t1 , t 2 ) , Rxx ′ (t1 , t 2 ) = K x (t1 , t2 ) . t
∂t1 ∂t2 N N
= lim
N →∞
∑ M [ X (si )Δsi ] = lim
N →∞
∑ mx ( si )Δsi = ∫ mx ( s )ds .
По определению взаимной корреляционной функции, с уче- i =1 i =1 0
том теоремы 1 и определения корреляционной функции, имеем t
o o ∂ o o Теорема 2. Пусть Y(t) = ∫ X ( s)ds , t > 0.
Rx ′x (t1 , t 2 ) = M[ X ′(t1 ) X (t 2 ) ] = M[ ( X (t1 ) ) X (t 2 ) ] = 0
∂t1 t1 t2
=
∂ o o
M[ X (t1 ) X (t 2 ) ] =
∂
K x (t1 , t 2 ) .
Тогда K y (t1 , t 2 ) = ∫ ∫ K x ( s1 , s2 ) ds 1 ds 2 .
0 0
∂t1 ∂t1
Доказательство. По определению корреляционной функции
Второе равенство в теореме 3 доказывается аналогично. o o
K y (t1 , t 2 ) = M[ Y (t1 ) Y (t2 ) ]. (16)
Интеграл от случайной функции и его характеристики o o
Интегралом от случайной функция X(t) по отрезку [0, T] на- Найдем выражение для Y (t1 ) Y (t2 ) и подставим его в пра-
зывают следующую величину: вую часть равенства (16). Из определения центрированной слу-
N T чайной функции (см. свойство 4 математического ожидания) и
lim
N →∞
∑ X (ti )Δti = ∫ X (t )dt , где Δti = T/N, ti = i Δti , i = 1, ..., N. теоремы 1 имеем
i =1 0
o t t t t t o
Здесь предполагается, что случайная функция X(t) имеет непре- Y (t ) = ∫ X ( s)ds –M[ ∫ X ( s)ds ] = ∫ X ( s)ds – ∫ mx (s)ds = ∫ X ( s)ds .
рывную траекторию на отрезке [0, T]. 0 0 0 0 0
t o o t1 o t2 o
Теорема 1. Пусть Y(t) = ∫ X ( s)ds , t > 0. Тогда Y (t1 ) Y (t2 ) = ∫ X ( s1 )ds1 ∫ X ( s2 )ds2 .
0 0 0
t Полученное выражение подставим в правую часть равенст-
Тогда my(t) = ∫ m x ( s )ds , t > 0.
0
ва (16), с учетом теоремы 1 и определения корреляционной
Доказательство. По определению интеграла функции, приходим к соотношениям:
t1 o t2 o
N
Y(t) = l.i.m. ∑ X ( si ) Δsi , где Δsi = T/N, si = i Δsi , i = 1, ..., N. K y (t1 , t 2 ) = M[ ∫ X ( s1 )ds1 ∫ X (s2 )ds2 ] =
N →∞ 0 0
i =1
75 76
