Составители:
Рубрика:
69
Доказательство начнем со свойства 1. Из (13) и (14) имеем
),( ttK
x
= M[
2
))(( tX
o
] = D
x
(t). Свойство 2 вытекает из (14). Для
доказательства свойства 3 достаточно показать, что ).()( tXtY
oo
=
Это следует из следующей очевидной цепочки равенств:
)(tY
o
= Y(t) – )(tm
y
= X(t) + φ(t) – M[X(t) + φ(t)] =
= X(t)+ φ(t) – M[X(t)] – φ(t) =
)(tX
o
.
Теперь из (14) получаем:
[),( MttK
21y
=
)(
1
tY
o
)(
2
tY
o
] = M[
)(
1
tX
o
)(
2
tX
o
] = ),(
21
ttK
x
.
Для доказательства свойства 4 рассмотрим ),(
21
ttK
y
. Со-
гласно (14) ),(
21
ttK
y
= M[)(
1
tY
o
)(
2
tY
o
]. С другой стороны, с уче-
том свойства 2 математического ожидания, имеем
)(tY
o
= Y(t) – )(tm
y
= φ(t) X(t)–M[φ(t) X(t)] = φ(t) X(t)–
– φ(t) M[X(t)] = φ(t)(X(t) – m
x
(t)) = φ(t))(tX
o
.
Теперь согласно свойству 2 математического ожидания, по-
лучим
),(
21
ttK
y
= M[φ(t
1
))(
1
tX
o
φ()
2
t )(
2
tX
o
] =
= φ(t
1
) φ(t
2
) M[)(
1
tX
o
)(
2
tX
o
] = φ(t
1
) φ(t
2
)),(
21
ttK
x
.
Свойство 5 при t
1
= t
2
= t следует из свойства 1. При t
1
≠t
2
имеем
),(
21
ttK
x
= M[)(
1
tX
o
)(
2
tX
o
] = M[)(
1
tX
o
]M[)(
2
tX
o
],
ввиду независимости случайных величин Х(t
1
) и Х(t
2
) при фик-
сированных t
1
и t
2
. Из последней цепочки равенств и свойства 4
математического ожидания следует справедливость свойства 5.
70
Нормированная корреляционная функция
),(
21
tt
х
ρ
=
),(
21
ttK
x
/(
x
σ
(t
1
)
x
σ
(t
2
)) – называется нормиро-
ванной корреляционной функцией, здесь
x
σ
(t) = (D
x
(t))½.
Докажем, что |),(
21
tt
х
ρ
| ≤ 1. Это следует из того, что при
фиксированных t
1
и t
2
величина ),(
21х
tt
ρ
равна коэффициенту
корреляции двух случайных величин, Х(t
1
) и Х(t
2
), соответст-
вующее свойство которого доказано в пункте 5.3.
Используя свойство 1 корреляционной функции, получим:
),( tt
х
ρ
= ),( ttK
x
/ D
x
(t) = 1.
Нормированная корреляционная функция имеет следующий
вероятностный смысл: чем ближе |),(
21
tt
х
ρ
| к 1, тем линейная
связь между сечениями Х(t
1
) и Х(t
2
) сильнее; чем ближе
|),(
21
tt
х
ρ | к 0, тем эта связь слабее.
Пример. Пусть X(t) =
t
e
−
N(a, σ). Найдем m
x
(t), D
x
(t),
),(
21
ttK
x
, ),(
21
tt
х
ρ
.
Согласно свойству 2 математического ожидания и свойству
3 дисперсии приходим к соотношениям:
m
x
(t) = M[
t
e
−
N(a, σ)] =
t
e
−
M[N(a, σ)] =
t
e
−
a,
D
x
(t) = D[
t
e
−
N(a, σ)] =
t
e
2−
D[N(a, σ)] =
t2
e
−
σ².
Имеем далее
)(tX
o
=
t
e
−
N(a, σ)– m
x
(t) =
t
e
−
(N(a, σ) – a) =
t
e
−
o
N (a, σ).
Тогда по свойству 4 корреляционной функции получим:
),(
21
ttK
x
= M[)(
1
tX
o
)(
2
tX
o
] = M[
1
t
e
−
o
N (a, σ)
2
t
e
−
o
N (a, σ)] =
=
21
tt
e
−−
М[
o
N
2
(a, σ)] =
21
tt
e
−−
σ².
В результате ),(
21
tt
х
ρ
= ),(
21
ttK
x
/(
x
σ
(t
1
)
x
σ
(t
2
)) = 1.
Из последнего равенства следует, что случайные процессы
Доказательство начнем со свойства 1. Из (13) и (14) имеем Нормированная корреляционная функция
o ρ х (t1 , t2 ) = K x (t1 , t 2 ) /( σ x (t1) σ x (t2)) – называется нормиро-
K x (t , t ) = M[ ( X (t )) 2 ] = Dx(t). Свойство 2 вытекает из (14). Для
o o
ванной корреляционной функцией, здесь σ x (t) = (Dx(t))½.
доказательства свойства 3 достаточно показать, что Y (t ) = X (t ). Докажем, что | ρ х (t1 , t2 ) | ≤ 1. Это следует из того, что при
Это следует из следующей очевидной цепочки равенств: фиксированных t1 и t2 величина ρ х (t1 , t2 ) равна коэффициенту
o
Y (t ) = Y(t) – m y (t ) = X(t) + φ(t) – M[X(t) + φ(t)] = корреляции двух случайных величин, Х(t1) и Х(t2), соответст-
o вующее свойство которого доказано в пункте 5.3.
= X(t)+ φ(t) – M[X(t)] – φ(t) = X (t ) . Используя свойство 1 корреляционной функции, получим:
Теперь из (14) получаем: ρ х (t , t ) = K x (t , t ) / Dx(t) = 1.
o o o o
K y (t1 , t2 ) = M [ Y (t1 ) Y (t2 ) ] = M[ X (t1 ) X (t2 ) ] = K x (t1 , t2 ) . Нормированная корреляционная функция имеет следующий
вероятностный смысл: чем ближе | ρ х (t1 , t2 ) | к 1, тем линейная
Для доказательства свойства 4 рассмотрим K y (t1 , t 2 ) . Со-
связь между сечениями Х(t1) и Х(t2) сильнее; чем ближе
o o
гласно (14) K y (t1 , t 2 ) = M[ Y (t1 ) Y (t2 ) ]. С другой стороны, с уче- | ρ х (t1 , t2 ) | к 0, тем эта связь слабее.
том свойства 2 математического ожидания, имеем Пример. Пусть X(t) = e − t N(a, σ). Найдем mx(t), Dx(t),
o K x (t1 , t 2 ) , ρ х (t1 , t2 ) .
Y (t ) = Y(t) – m y (t ) = φ(t) X(t)–M[φ(t) X(t)] = φ(t) X(t)–
Согласно свойству 2 математического ожидания и свойству
o
– φ(t) M[X(t)] = φ(t)(X(t) – mx(t)) = φ(t) X (t ) . 3 дисперсии приходим к соотношениям:
Теперь согласно свойству 2 математического ожидания, по- mx(t) = M[ e − t N(a, σ)] = e −t M[N(a, σ)] = e −t a,
лучим Dx(t) = D[ e − t N(a, σ)] = e −2t D[N(a, σ)] = e −2t σ².
o o Имеем далее
K y (t1 , t 2 ) = M[φ(t1) X (t1 ) φ( t2 ) X (t 2 ) ] = o o
o o X (t ) = e − t N(a, σ)– mx(t) = e − t (N(a, σ) – a) = e − t N (a, σ).
= φ(t1) φ(t2) M[ X (t1 ) X (t 2 ) ] = φ(t1) φ(t2) K x (t1 , t 2 ) . Тогда по свойству 4 корреляционной функции получим:
Свойство 5 при t1 = t2 = t следует из свойства 1. При t1 ≠t2 имеем o o o o
o o o o K x (t1 , t 2 ) = M[ X (t1 ) X (t 2 ) ] = M[ e −t1 N (a, σ) e −t 2 N (a, σ)] =
K x (t1 , t 2 ) = M[ X (t1 ) X (t2 ) ] = M[ X (t1 ) ]M[ X (t 2 ) ], o − t1 −t 2
ввиду независимости случайных величин Х(t1) и Х(t2) при фик- = e−t1 −t 2 М[ N 2 (a, σ)] = e σ².
сированных t1 и t2. Из последней цепочки равенств и свойства 4 В результате ρ х (t1 , t2 ) = K x (t1 , t 2 ) /( σ x (t1) σ x (t2)) = 1.
математического ожидания следует справедливость свойства 5. Из последнего равенства следует, что случайные процессы
69 70
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
