Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 29 стр.

   Решение.                                                                                                                                 2
                                                                                                                                    σ x2 σ y
    Н 0 : а = 50, а0 = 50, n = 16. xв – а0 < 0 – надо взять левосторон-             Э т а п 3. Критерий К = ( xв − yв )                  +      – конкретные
                                                                                                                                     n     m
нюю критическую область. Конкурирующая гипотеза Н1 : а < а0.                  значения этой случайной величины находятся по выборкам. Най-
К=
    48− 50             (          )               1
            = −2 , ω = − ∞, xлев, α = ( −∞,−Φ −1 ( − α )) = (−∞, − 1.645) .
                                                  2
                                                                              дем ее закон распределения, точнее, докажем, что К = N(0, 1).
                                                                                                                      X + ..... + X n Y1 − .... − Ym
     4 / 16                                                                         Действительно, X в − Yв = 1                        −                 являет-
К ∈ ω , значит, основную гипотезу придется отвергнуть, а при-                                                                n                m
нять конкурирующую Н1 : математическое ожидание а < 50. Од-                   ся линейной комбинацией независимых нормальных случайных
нако, если взять значение а0 = 49, то основная гипотеза будет                 величин Xi, Yj, поэтому она сама имеет нормальный закон рас-
принята. Следует отметить, что если уменьшить уровень значи-                  пределения. Найдем ее числовые характеристики (используя
                                                                              сведения из теории вероятности):
мости до 0.01, то x лев ,α = −Φ −1 (0.49) = −2.34 , критерий уже не
                                                                                      М ( X в − Yв ) = М ( X в ) − М (Yв ) = 0 – по предположению.
попадает в критическую область ω , и основная гипотеза Н 0 :
                                                                                                                       X + .... + X n         Y + ..... + Ym
а = а0 в этом случае будет принята даже при а0 = 50.                           D ( X в − Yв ) = D ( X в ) + D(Yв ) = D( 1              ) + D( 1              ) =
                                                                                                                              n                     m
    Задача 2. Проверка гипотезы о равенстве генеральных
средних двух независимых нормальных генеральных совокупно-                                               2
стей X и Y.                                                                       nD ( X ) mD(Y ) σ х2 σ у
                                                                              =           +      =    +                (вследствие независимости всех
     Постановка задачи: генеральные совокупности X и Y рас-                         n2      m2     n    m
пределены по нормальному закону: X = N(ax, σ х ) и Y = N( a y ,                                                                    σ у2
                                                                                                                        σ х2
σ у ). Средние квадратические отклонения σ х и σ у предполага-                слагаемых). При делении на       +   среднее квадратическое
                                                                                                             n   m
ются известными. Имеются две независимые выборки x1, …, xn и                  отклонение нормируется и становится равным 1, а на математи-
y1, …, ym. Требуется ответить на вопрос: можно ли принять гипо-               ческое ожидание это не влияет.
тезу Н 0 : ax = a y , имея при этом вероятность совершить ошибку
                                                                                  Э т а п 4. Построение критической области. Аналогично
первого рода Р( Н1 / Н 0 ) не более α ?
                                                                              предыдущей задаче, получаем:
     Решение.                                                                 при Н1 : a x > a y ω = ( xпр ,α ∞) , при Н1 : a x < a y ω = (−∞, x лев ,α ) ,
                                                                                                                               (
                                                                              при Н1 : a x ≠ a y ω = (−∞, x лев , α / 2 ) ∪ xпр., α / 2 , ∞   )
     Э т а п 1. Н 0 : a x = a y . Конкурирующую гипотезу, как и в
предыдущей задаче, можно формулировать в трех видах:                              Э т а п 5. По выборкам находим конкретное значение кри-
    Н1 : a x < a y , Н1 : a x > a y и Н1 : a x ≠ a y .                        терия К и сравниваем его с ω . Если К ∈ ω , то основную гипо-
                                                                              тезу Н 0 отвергаем, а альтернативную Н1 принимаем. Если же
     Э т а п 2. Вводим уровень значимости α .                                 К ∉ ω , то Н 0 принимается.


                                      59                                                                               60