Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 2. Сосов Е.Н. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
4
(< x
0
; x >, < y
0
; y >) = x
0
y
0
− x
1
y
1
− x
2
y
2
− x
3
y
3
= x
0
y
0
− (x, y),
x =< x
1
; x
2
; x
3
>∈ R
3
R
4
1,3
= R
4
1
(+, −, −, −)
< t
1
; x > < t
2
; y >
s
12
=
p
c
2
(t
2
− t
1
)
2
− (x − y)
2
=
p
c
2
(t
2
− t
1
)
2
− (x
1
− y
1
)
2
− (x
2
− y
2
)
2
− (x
3
− y
3
)
2
x
0
= ct
1
y
0
= ct
2
{< y
0
; y >∈ R
4
1
: s
12
= 0}
< x
0
; x >
ds
ds
2
= c
2
dt
2
− dx
2
= (dx
0
)
2
− (dx
1
)
2
− (dx
2
)
2
− (dx
3
)
2
.
ds = 0 K dˆs = 0
ˆ
K
ds dˆs
ds
2
dˆs
2
ds
2
= adˆs
2
,
  Ðàññìîòðèì â R4 ïñåâäîñêàëÿðíîå óìíîæåíèå

    (< x0 ; x >, < y 0 ; y >) = x0 y 0 − x1 y 1 − x2 y 2 − x3 y 3 = x0 y 0 − (x, y),

ãäå, íàïðèìåð, x =< x1 ; x2 ; x3 >∈ R3 .
   Ïîëó÷èì, òàê íàçûâàåìîå ïðîñòðàíñòâî Ìèíêîâñêîãî R41,3 = R41 .
Ýòî ÷åòûðåõìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ïñåâäîñêàëÿðíûì óìíîæå-
íèåì ñèãíàòóðû (+, −, −, −) ÿâëÿåòñÿ àññîöèèðîâàííûì äëÿ òî÷å÷íîãî
ïñåâäîåâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ñ àíàëîãè÷íûì íàçâàíèåì è òåì æå ñàìûì
îáîçíà÷åíèåì.
  Åñëè < t1 ; x >, < t2 ; y >  äâà ñîáûòèÿ (êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ìèðî-
âûìè òî÷êàìè), òî âåëè÷èíà
                               p
                        s12   = c2 (t2 − t1 )2 − (x − y)2 =
             p
              c2 (t2 − t1 )2 − (x1 − y 1 )2 − (x2 − y 2 )2 − (x3 − y 3 )2
íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì èëè ðàññòîÿíèåì ìåæäó ýòèìè ñîáûòèÿìè.
  Îáû÷íî ïîëàãàþò x0 = ct1 , y 0 = ct2 .
  Ìíîæåñòâî {< y 0 ; y >∈ R41 : s12 = 0} íàçûâàåòñÿ èçîòðîïíûì (ñâå-
òîâûì) êîíóñîì ñ âåðøèíîé â òî÷êå < x0 ; x >.
  Íåíóëåâîé âåêòîð íàçûâàåòñÿ âðåìåíèïîäîáíûì (ïðîñòðàíñòâåí-
íîïîäîáíûì, èçîòðîïíûì), åñëè åãî ïñåâäîñêàëÿðíûé êâàäðàò áîëüøå
íóëÿ (ìåíüøå íóëÿ, ðàâåí íóëþ).
  Åñëè äâà ñîáûòèÿ áåñêîíå÷íî áëèçêè äðóã äðóãó, òî äëÿ èíòåðâàëà ds
ìåæäó íèìè èìååì

           ds2 = c2 dt2 − dx2 = (dx0 )2 − (dx1 )2 − (dx2 )2 − (dx3 )2 .

Èç èíâàðèàíòíîñòè ñêîðîñòè ñâåòà ñëåäóåò, åñëè èíòåðâàë ìåæäó äâóìÿ
ñîáûòèÿìè ðàâåí íóëþ â îäíîé ÈÑÎ, òî îí ðàâåí íóëþ è â ëþáîé äðóãîé
ÈÑÎ, ò.å. åñëè ds = 0 â îäíîé ÈÑÎ K , òî dŝ = 0 â ëþáîé äðóãîé ÈÑÎ K̂ .
  Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ds è dŝ  áåñêîíå÷íî ìàëûå îäíîãî ïîðÿäêà. Ñëå-
äîâàòåëüíî, ds2 è dŝ2 äîëæíû áûòü ïðîïîðöèîíàëüíû äðóã äðóãó

                                     ds2 = adŝ2 ,

                                           6

Страницы