Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 2. Сосов Е.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

G =
1 0
0 −1
, A =
a b
k d
∈ O(1, 1).
a
2
− k
2
= 1, ab − kd = 0, b
2
− d
2
= −1
a b k d ∈ R th Ψ =
k
a
A = ±
ch Ψ ±sh Ψ
sh Ψ ±ch Ψ
, Ψ ∈ R,
O(1, 1)
ch Ψ sh Ψ
sh Ψ ch Ψ
,
ch Ψ −sh Ψ
sh Ψ −ch Ψ
,
−ch Ψ sh Ψ
−sh Ψ ch Ψ
,
−ch Ψ −sh Ψ
−sh Ψ −ch Ψ
, Ψ ∈ R.
O(1, 1)
K(O; < x
0
= ct; x >)
V Ox
1
ˆ
K(
ˆ
O; < ˆx
0
= c
ˆ
t; ˆx >)
Ox
2
||
ˆ
Oˆx
2
Ox
3
||
ˆ
Oˆx
3
x
0
= ˆx
0
ch Ψ + ˆx
1
sh Ψ, x
1
= ˆx
0
sh Ψ + ˆx
1
ch Ψ,
x
2
= ˆx
2
, x
3
= ˆx
3
, Ψ ∈ R.
K
ˆ
O : ˆx = 0
V
c
=
x
1
ct
=
x
1
x
0
= th Ψ.
sh Ψ =
B
√
1 − B
2
, ch Ψ =
1
√
1 − B
2
,
ãäå                                                    
                     1 0                            a b
                 G=         ,            A=                   ∈ O(1, 1).
                     0 −1                           k d
Èç ýòîãî óñëîâèÿ ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé

             a2 − k 2 = 1,          ab − kd = 0,          b2 − d2 = −1
ñ íåèçâåñòíûìè a, b, k è d ∈ R. Îáîçíà÷èì th Ψ = ka . Òîãäà îáùåå ðåøåíèå
íàøåé ñèñòåìû èìååò âèä
                                  
                       ch Ψ ± sh Ψ
                   A=±               ,                        Ψ ∈ R,
                       sh Ψ ± ch Ψ
à ãðóïïà O(1, 1) ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè, îáùèé âèä ïðåä-
ñòàâèòåëåé êîòîðûõ ñëåäóþùèé
                                                
                   ch Ψ sh Ψ           ch Ψ − sh Ψ
                               ,                     ,
                   sh Ψ ch Ψ           sh Ψ − ch Ψ
                                            
            − ch Ψ sh Ψ          − ch Ψ − sh Ψ
                          ,                      ,     Ψ ∈ R.
            − sh Ψ ch Ψ          − sh Ψ − ch Ψ
Ïåðâàÿ ìàòðèöà åñòü ïðåäñòàâèòåëü êîìïîíåíòû åäèíèöû ãðóïïû O(1, 1).
   Ðàññìîòðèì ÈÑÎ K(O; < x0 = ct; x >) è äâèæóùóþñÿ îòíîñèòåëüíî
íåå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ V âäîëü îñè Ox1 ÈÑÎ K̂(Ô; < x̂0 = ct̂; x̂ >)
òàê, ÷òî Ox2 ||Ôx̂2 , Ox3 ||Ôx̂3 .
   Îðòîõðîííûå (ñ íåèçìåííûì íàïðàâëåíèåì âðåìåíè) ïñåâäîîðòîãî-
íàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðâîãî ðîäà (ñ åäèíè÷íûì îïðåäåëèòåëåì) ýòèõ
êîîðäèíàò ñ ó÷åòîì ïðèâåäåííîãî ïðèìåðà áóäóò èìåòü âèä

            x0 = x̂0 ch Ψ + x̂1 sh Ψ,         x1 = x̂0 sh Ψ + x̂1 ch Ψ,
                       x2 = x̂2 ,      x3 = x̂3 ,         Ψ ∈ R.
Ðàññìîòðèì â ñèñòåìå K äâèæåíèå íà÷àëà Ô : x̂ = 0. Òîãäà ïîëó÷èì
                              V   x1  x1
                                =    = 0 = th Ψ.
                              c   ct  x
Ñëåäîâàòåëüíî,
                                B                               1
                  sh Ψ = √           ,        ch Ψ = √               ,
                              1 − B2                          1 − B2
                                          8

Страницы