Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 2. Сосов Е.Н. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

q =
x
x
0
B(0, 1) ⊂ R
3
(−B)
ˆq =
((B, q) − B
2
)B + (B
2
q −(B, q)B)
√
1 − B
2
B
2
(1 − (B, q))
.
K Ox
1
= Ox l
0
= ∆x =
x
2
− x
1
V
ˆ
K
x
i
= Γ(Bˆx
0
+ ˆx
i
), i = 1, 2.
l
0
l = ∆ˆx = l
0
Γ
−1
= l
0
√
1 − B
2
ˆ
K Γ
−1
Γ
−1
ˆ
K
(ˆx
1
; ˆx
2
; ˆx
3
)
ˆ
K
ˆ
K
∆
ˆ
t =
ˆ
t
2
−
ˆ
t
1
x
0
i
= Γ(ˆx
0
i
+ B ˆx
1
), i = 1, 2.
∆t = t
2
− t
1
= Γ∆
ˆ
t
Γ
−1
3 K
v =<
dx
1
dt
;
dx
2
dt
;
dx
3
dt
>=
dx
dt
.
Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî q = xx0  ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè èç îòêðûòîãî øàðà
B(0, 1) ⊂ R3 , òî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà îïðåäåëÿò ïàðàëëåëü-
íûé ïåðåíîñ â ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà ïðîñòðàíñòâà Ëîáà-
÷åâñêîãî â ýòîì øàðå íà âåêòîð (−B):
                                                       √
                   ((B, q) − B 2 )B + (B 2 q − (B, q)B) 1 − B 2
              q̂ =                                              .
                                   B 2 (1 − (B, q))
Îòìåòèì åùå äâà ïðîñòûõ ñëåäñòâèÿ èç âèäà ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.
   1. Åñëè â ÑÎ K íà îñè Ox1 = Ox ïîêîèòñÿ ñòåðæåíü äëèíû l0 = ∆x =
x2 − x1 , òî â äâèæóùåéñÿ âäîëü ýòîé îñè ñî ñêîðîñòüþ V ÑÎ K̂ íàéäåì

                         xi = Γ(B x̂0 + x̂i ), i = 1, 2.

Ñîáñòâåííîé äëèíîé ñòåðæíÿ íàçûâàåòñÿ åãî äëèíà â òîé ÑÎ, â êî-
òîðîé îí ïîêîèòñÿ.√Ñëåäîâàòåëüíî, l0  ñîáñòâåííàÿ äëèíà ñòåðæíÿ è
l = ∆x̂ = l0 Γ−1 = l0 1 − B 2 .
  Òàêèì îáðàçîì, ïðîèñõîäèò ëîðåíöåâî ñîêðàùåíèå äëèíû ñòåðæ-
íÿ: äëèíà ñòåðæíÿ â äâèæóùåéñÿ ÑÎ K̂ ñîêðàùàåòñÿ â îòíîøåíèè Γ−1 .
  Îáúåì òàêæå ñîêðàùàåòñÿ â îòíîøåíèè Γ−1 , ïîñêîëüêó ïîïåðå÷íûå ðàç-
ìåðû òåëà íå èçìåíÿþòñÿ.
  2. Ïóñòü òåïåðü â ÑÎ K̂ , ãäå ïîêîÿòñÿ ÷àñû, äâà ñîáûòèÿ ïðîèçîøëè â
îäíîì è òîì æå ìåñòå ñ êîîðäèíàòàìè (x̂1 ; x̂2 ; x̂3 ) â ÑÎ K̂ è â ÑÎ K̂ âðåìÿ
ìåæäó ýòèìè ñîáûòèÿìè åñòü ∆t̂ = t̂2 − t̂1 . Òîãäà

                         x0i = Γ(x̂0i + B x̂1 ), i = 1, 2.

Ñëåäîâàòåëüíî, ∆t = t2 − t1 = Γ∆t̂ è â äâèæóùåéñÿ ÑÎ ÷àñû èäóò
ìåäëåííåå â îòíîøåíèè Γ−1 .

  3. Ãåîìåòðèÿ ïðîñòðàíñòâà ñêîðîñòåé ÷àñòèö â ñïåöèàëüíîé
  òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðèåé Ëîáà÷åâñêîãî.

  3-ñêîðîñòüþ ÷àñòèöû â ÑÎ K íàçûâàåòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ
                             dx1 dx2 dx3    dx
                        v =<    ;   ;    >=    .
                              dt dt dt      dt

                                        10

Страницы