Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 2. Сосов Е.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ch ρ(0,
ˆ
β) = ch ρ(0, β) ch ρ(0, B) − sh ρ(0, β) sh ρ(0, B) cos α,
α B β
(1 −
ˆ
β
2
)
−1/2
= (1 − β
2
)
−1/2
(1 − B
2
)
−1/2
(1 − (β, B)).
(−2)
B = β + dβ
dl
2
=
dβ
2
− [dβ, β]
2
(1 − β
2
)
2
=
(1 − β
2
)dβ
2
+ (β, dβ)
2
(1 − β
2
)
2
, ds
2
= c
2
(c
2
− v
2
)dv
2
+ (v, dv)
2
(c
2
− v
2
)
2
.
R
4
1
u
i
=
dx
i
ds
, i = 0, 1, 2, 3.
u
i
0
= a
i
0
i
u
i
,
(a
i
0
i
) =
Γ −ΓB 0 0
−ΓB Γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
u
i
= g
ik
u
k
,
Îñòàëîñü èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó äëÿ ìåòðèêè â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ ïî-
ëó÷åííîãî ðàâåíñòâà, çàòåì ïðèâåñòè âûðàæåíèÿ ê íóæíîìó âèäó. Êðîìå
òîãî, âòîðàÿ ôîðìóëà åñòü òåîðåìà êîñèíóñîâ ïëàíèìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî

          ch ρ(0, β̂) = ch ρ(0, β) ch ρ(0, B) − sh ρ(0, β) sh ρ(0, B) cos α,

ãäå α  âåëè÷èíà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè B è β , çàïèñàííàÿ â èíîì âèäå

              (1 − β̂ 2 )−1/2 = (1 − β 2 )−1/2 (1 − B 2 )−1/2 (1 − (β, B)).

Íóæíî ïðîñòî âîçâåñòè îáå ÷àñòè â ñòåïåíü (−2).
  Åñëè ïðèáëèæåííî B = β + dβ , òî ïîëó÷èì ðèìàíîâû ìåòðèêè
        dβ 2 − [dβ, β]2   (1 − β 2 )dβ 2 + (β, dβ)2                            (c2 − v 2 )dv 2 + (v, dv)2
dl2 =                   =                           ,               ds2 = c2                              .
          (1 − β 2 )2            (1 − β 2 )2                                          (c2 − v 2 )2
Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî ñêîðîñòåé ÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàí-
ñòâîì Ëîáà÷åâñêîãî, à ïðåîáðàçîâàíèå ñêîðîñòè ÷àñòèöû ÿâëÿ-
åòñÿ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì â ýòîì ïðîñòðàíñòâå.

 4. 4-ñêîðîñòü ÷àñòèöû, 4-âåêòîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ÷àñòèöû è
                    ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà.


  4-ñêîðîñòüþ ÷àñòèöû â R41 íàçûâàåòñÿ âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè
                              i dxi
                            u =     ,             i = 0, 1, 2, 3.
                                ds
Ïðåîáðàçóþòñÿ ýòè êîìïîíåíòû òàêæå êàê è êîîðäèíàòû ïðè îáðàòíîì
ïðåîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà
                                         0         0
                                       ui = aii ui ,
ãäå                                           
                                     Γ −ΓB 0 0
                              0    −ΓB Γ 0 0
                          (aii ) = 
                                    0
                                               .
                                        0  1 0
                                     0  0  0 1
Ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü êîâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ÷àñòè-
öû
                                       ui = gik uk ,

                                             12

Страницы