Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 2. Сосов Е.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

g
00
= −g
11
= −g
22
= −g
33
= 1.
u
i
u
i
= 1.
ds =
p
c
2
dt
2
− dx
2
= c
p
1 − β
2
dt = γ
−1
dx
0
,
γ = (1 − β
2
)
−1/2
= ch ρ(0, β) = ch ψ
< u
0
; u >=< u
0
; u
1
; u
2
; u
3
>= γ < 1; β >, u
i
u
i
= γ
2
(1 − β
2
) = 1.
S
+
(0, 1)
R
4
1
S
δS
R
4
1
S
−α
S = −α
b
Z
a
ds = −α
t
2
Z
t
1
c
r
1 −
v
2
c
2
dt.
c → ∞
L = −αc
r
1 −
v
2
c
2
ãäå íåíóëåâûå êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ðàâíû

                       g00 = −g11 = −g22 = −g33 = 1.

Êîìïîíåíòû 4-ñêîðîñòè óäîâëåòâîðÿþò òîæäåñòâó
                                    ui ui = 1.

Äåéñòâèòåëüíî,
                    p             p
                ds = c dt − dx = c 1 − β 2 dt = γ −1 dx0 ,
                      2  2    2


ãäå γ = (1 − β 2 )−1/2 = ch ρ(0, β) = ch ψ . Òîãäà

   < u0 ; u >=< u0 ; u1 ; u2 ; u3 >= γ < 1; β >,     ui ui = γ 2 (1 − β 2 ) = 1.

Òàêèì îáðàçîì, 4-ñêîðîñòü ÷àñòèöû åñòü ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè èç S+ (0, 1)
â R41 .
  Ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äëÿ
ëþáîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñóùåñòâóåò òàêîé èíòåãðàë S (íà-
çûâàåìûé äåéñòâèåì), êîòîðûé ìèíèìàëåí âäîëü ìàëûõ ó÷àñò-
êîâ ëèíèè äâèæåíèÿ (ñëåäîâàòåëüíî, âàðèàöèÿ δS êîòîðîãî ðàâ-
íà íóëþ).
  Òàêèì îáðàçîì, ìèðîâûå ëèíèè ìàññèâíûõ ÷àñòèö â R41 åñòü ýêñòðåìàëè
ôóíêöèîíàëà S .
   Äåéñòâèå äëÿ ñâîáîäíîé ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöû íå äîëæíî çàâèñåòü îò
âûáîðà ÈÑÎ, ò.å. äîëæíî áûòü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçî-
âàíèé Ëîðåíöà. Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë äîëæåí áûòü âçÿò îò ñêàëÿðà
−α, óìíîæåííîãî íà äèôôåðåíöèàë ïåðâîé ñòåïåíè îò èíòåðâàëà (ìèíóñ
âûáðàí, ÷òîáû èíòåãðàë ïðèíèìàë âäîëü ïðÿìîé ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå)

                              Zb          Zt2 r
                                                v2
                     S = −α        ds = −α c 1 − 2 dt.
                                                c
                              a              t1

Ïðè c → ∞ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà
                                         r
                                              v2
                              L = −αc       1− 2
                                              c
                                       13

Страницы