Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

E
R dim E > 1 B(O, 1) ⊂ E S(O, 1)
O ∈ E
1 |xy| x y ∈ E
L[x, u) ⊂ E x u 6= x
Λ
R π : Λ → B(O, 1)
π
x y ∈ Λ ρ(x, y) ∈ R
ρ(x, x) = 0 x 6= y ρ(x, y) =
k
2
ln
|π(x)v||π(y)u|
|π(x)u||π(y)v|
,
v u L[π(x), π(y)) L[π(y), π(x))
S(O, 1) k > 0
E
dim Λ = dim E
Λ
Λ
B(O, 1) π
Λ B(O, 1)
π
Λ = B(O, 1) π = id
(Λ, ρ)
π
     1. Îïðåäåëåíèå ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî. Ìåòðèêà
   ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî â ìîäåëè Áåëüòðàìè-Êëåéíà.

   Ïóñòü E  ïîëíîå, ñåïàðàáåëüíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì
âåùåñòâåííûõ ÷èñåë R ðàçìåðíîñòè dim E > 1 è B(O, 1) ⊂ E ( S(O, 1)) 
îòêðûòûé øàð (ñôåðà) ñ öåíòðîì â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå O ∈ E ðàäèóñà
1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç |xy|  ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x, y ∈ E è ÷åðåç
L[x, u) ⊂ E  ëó÷ ñ íà÷àëîì â òî÷êå x, ñîäåðæàùèé òî÷êó u 6= x.
   Ìíîæåñòâî Λ íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì Ëîáà÷åâñêîãî íàä ïîëåì
R, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå îòîáðàæåíèå π : Λ → B(O, 1), ÷òî âûïîëíÿþòñÿ
ñëåäóþùèå óñëîâèÿ (àêñèîìû) :
  1. π  áèåêöèÿ.
   2. Ëþáîé ïàðå ýëåìåíòîâ x, y ∈ Λ ñîïîñòàâëÿåòñÿ ÷èñëî ρ(x, y) ∈ R
òàêîå, ÷òî
                                              k |π(x)v||π(y)u|
        ρ(x, x) = 0    è ïðè x 6= y   ρ(x, y) = ln                ,
                                              2 |π(x)u||π(y)v|
ãäå v (u)  òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à L[π(x), π(y)) (L[π(y), π(x))) ñî ñôåðîé
S(O, 1), k > 0  êîíñòàíòà.
    Ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòü E,
ò.å. dim Λ = dim E.
   Ýëåìåíòû Λ íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè èëè ë-òî÷êàìè, êîãäà íåîáõîäèìî
îòëè÷àòü èõ îò òî÷åê åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.
  Îòðåçîê (ë-îòðåçîê) â Λ åñòü ïîëíûé ïðîîáðàç åâêëèäîâà îòðåçêà èç
B(O, 1) ïðè îòîáðàæåíèè π .
  Ïðÿìàÿ (ë-ïðÿìàÿ) â Λ åñòü ïîëíûé ïðîîáðàç õîðäû èç B(O, 1) ïðè
îòîáðàæåíèè π .
  Ïðè Λ = B(O, 1), π = id ìû ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìóþ ìîäåëü
ÁåëüòðàìèÊëåéíà ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî.
  Òåîðåìà 1. (Λ, ρ)  ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, ãåîäåçè÷åñêèå ñåã-
ìåíòû â êîòîðîì åñòü îòðåçêè.
     Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òåîðåìó â ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà. Äåéñòâè-
òåëüíî, ïîñëå òàêîãî äîêàçàòåëüñòâà íóæíî èñïîëüçîâàòü π â êà÷åñòâå

                                      3

Страницы