Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x y ∈ B(O, 1) x 6= y
|xv||yu|
|xu||yv|
=
(|xy| + |yv|)(|yx| + |xu|)
|yv||xu|
> 1.
ρ(x, y) > 0 x y ∈ B(O, 1)
ρ(x, y) = ρ(y, x)
z [x, y] ⊂ B(O, 1)
z /∈ {x, y}
|xv||yu|
|xu||yv|
=
|xv||zu||zv||yu|
|xu||zv||zu||yv|
.
ρ(x, y) = ρ(x, z) + ρ(z, y) x y z ∈ B(O, 1)
{v} = L[x, y) ∩S(O, 1), {u} = L[y, x) ∩S(O, 1), {s} = L[y, z) ∩S(O, 1),
{t} = L[z, y) ∩S(O, 1), {m} = L[x, z) ∩ S(O, 1), {l} = L[z, x) ∩S(O, 1),
{q} = [s, l] ∩ [u, v], {h} = [m, t] ∩ [u, v],
{p} = P [l, s] ∩ P [t, m], {w} = P [p, z] ∩ [u, v],
P [l, s] l s p
P [l, s] P [t, m]
w ∈ [x, y]\{x, y}
|xv||yu|
|xu||yv|
=
|xv||wu||wv||yu|
|wv||xu||yv||wu|
<
|xh||wq||wh||yq|
|wh||xq||yh||wq|
=
|xm||zl||zt||ys|
|zm||xl||yt||zs|
,
|xv|
|wv|
=
|xh| + |hv|
|wh| + |hv|
<
|xh|
|wh|
p P [l, m] P [s, t]
ρ(x, y) < ρ(x, z) + ρ(z, y) (Λ, ρ)
èçîìåòðèè èñõîäíîãî ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî íà ìîäåëü Áåëüòðàìè
Êëåéíà.
  Ïðîâåðèì àêñèîìû ìåòðèêè. Ïóñòü x, y ∈ B(O, 1), x 6= y . Òîãäà
                  |xv||yu| (|xy| + |yv|)(|yx| + |xu|)
                           =                          > 1.
                  |xu||yv|          |yv||xu|
Ñëåäîâàòåëüíî, ρ(x, y) > 0. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, y ∈ B(O, 1)
ρ(x, y) = ρ(y, x).
  Ïóñòü òî÷êà z ïðèíàäëåæèò îòðåçêó [x, y] ⊂ B(O, 1). Òîãäà â ñëó÷àå
z∈
 / {x, y}
                       |xv||yu| |xv||zu||zv||yu|
                                =                 .
                       |xu||yv| |xu||zv||zu||yv|
Ñëåäîâàòåëüíî, ρ(x, y) = ρ(x, z) + ρ(z, y). Ïóñòü òî÷êè x, y , z ∈ B(O, 1)
íå ïðèíàäëåæàò îäíîìó îòðåçêó. Ïîñòðîèì òî÷êè

{v} = L[x, y) ∩ S(O, 1),   {u} = L[y, x) ∩ S(O, 1),         {s} = L[y, z) ∩ S(O, 1),

{t} = L[z, y) ∩ S(O, 1),   {m} = L[x, z) ∩ S(O, 1),         {l} = L[z, x) ∩ S(O, 1),
                {q} = [s, l] ∩ [u, v],        {h} = [m, t] ∩ [u, v],
             {p} = P [l, s] ∩ P [t, m],        {w} = P [p, z] ∩ [u, v],
ãäå P [l, s]  ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè l è s, à p ìîæåò áûòü íåñîá-
ñòâåííîé òî÷êîé â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ P [l, s] è P [t, m].
  Ìû ðàçáåðåì ñëó÷àé, êîãäà w ∈ [x, y]\{x, y}, ïîñêîëüêó äðóãèå ñëó÷àè
òðèâèàëüíû èëè àíàëîãè÷íû.
     |xv||yu| |xv||wu||wv||yu| |xh||wq||wh||yq| |xm||zl||zt||ys|
             =                <                =                 ,
     |xu||yv| |wv||xu||yv||wu| |wh||xq||yh||wq| |zm||xl||yt||zs|
òàê êàê, íàïðèìåð,
                      |xv|      |xh| + |hv|     |xh|
                            =                <
                      |wv| |wh| + |hv| |wh|
è îñòàëüíûå íåðàâåíñòâà àíàëîãè÷íû, à ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç
èíâàðèàíòíîñòè ñëîæíîãî îòíîøåíèÿ ÷åòûðåõ òî÷åê ïðè ïðîåêòèðîâàíèè
èç òî÷êè p íà ïðÿìûå P [l, m] è P [s, t] ñîîòâåòñòâåííî.
  Ñëåäîâàòåëüíî, ρ(x, y) < ρ(x, z) + ρ(z, y). Òàêèì îáðàçîì, (Λ, ρ)  ìåò-
ðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.

                                          4

Страницы