Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(Λ, ρ)
O
O 0
u v
S(0, 1) Λ = B(0, 1)
ρ(x, y) = kArch
1 − (x, y)
√
1 − x
2
p
1 − y
2
,
(x, y) x y ∈
B(0, 1) x
2
x
u v ∈ S(0, 1)
v = x + λ
1
(y − x), λ
1
> 1, u = x + λ
2
(y − x), λ
2
< 0.
x y ∈ B(0, 1) λ
1
λ
2
λ
2
(y − x)
2
+ 2λ(x, y − x) + x
2
− 1 = 0.
λ
1,2
=
(x, x − y) ±
√
∆
(y − x)
2
,
∆ = (x, y − x)
2
+ (1 − x
2
)(y − x)
2
= A
2
− B A = 1 − (x, y) B =
(1 − x
2
)(1 − y
2
)
|x − v||y − u|
|x − u||y − v|
=
λ
1
(1 − λ
2
)
λ
2
(1 − λ
1
)
=
((x, x − y) +
√
∆)((y, y − x) +
√
∆)
((x, y − x) +
√
∆)((y, x − y) +
√
∆)
=
   Ïîä ãåîäåçè÷åñêèì ñåãìåíòîì â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ïîíèìàåòñÿ
êðèâàÿ, äëèíà êîòîðîé ðàâíà ðàññòîÿíèþ ìåæäó åå êîíöàìè (ïîäðîáíîñòè
ñì. â [1], c. 42).
   Ïîñëå äîêàçàííûõ ðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâ ÿñíî, ÷òî îòðåçêè ÿâëÿþòñÿ
ãåîäåçè÷åñêèìè ñåãìåíòàìè.
   Èç ïîñëåäíåãî ñòðîãîãî íåðàâåíñòâà è îïðåäåëåíèÿ ãåîäåçè÷åñêîãî ñåã-
ìåíòà ñëåäóåò, ÷òî êðîìå îòðåçêîâ äðóãèõ ãåîäåçè÷åñêèõ ñåãìåíòîâ â (Λ, ρ)
íåò.
    ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà ìû áóäåì çàäàâàòü òî÷êè èõ ðàäèóñ-
âåêòîðàìè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O è îáîçíà÷àòü ýòè ðàäèóñ-âåêòîðû òàêæå,
êàê è òî÷êè. Òî÷êå O ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ðàäèóñ-âåêòîð 0.
    ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà ïîëó÷èì äðóãóþ ôîðìóëó äëÿ ìåòðèêè,
èçáàâèâøèñü îò òî÷åê u, v , ïðèíàäëåæàùèõ òàê íàçûâàåìîìó àáñîëþòó
S(0, 1) ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî Λ = B(0, 1).
  Òåîðåìà 2.  ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà èìååò ìåñòî ôîðìóëà
                                            1 − (x, y)
                   ρ(x, y) = kArch √             p     ,
                                          1 − x 1 − y2
                                               2

ãäå (x, y)  ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ òî÷åê x, y ∈
B(0, 1) è x2  ñêàëÿðíûé êâàäðàò ðàäèóñ-âåêòîðà òî÷êè x.
     Ïðåäñòàâèì u, v ∈ S(0, 1) â ñëåäóþùåì âèäå
      v = x + λ1 (y − x),   λ1 > 1,        u = x + λ2 (y − x),   λ2 < 0.
Ïðè ôèêñèðîâàííûõ ðàçëè÷íûõ x, y ∈ B(0, 1) ÷èñëà λ1 , λ2 ÿâëÿþòñÿ êîð-
íÿìè óðàâíåíèÿ
                 λ2 (y − x)2 + 2λ(x, y − x) + x2 − 1 = 0.
Îòêóäà íàéäåì                                    √
                                   (x, x − y) ± ∆
                            λ1,2 =                   ,
                                        (y − x)2
ãäå ∆ = (x, y − x)2 + (1 − x2 )(y − x)2 = A2 − B , A = 1 − (x, y), B =
(1 − x2 )(1 − y 2 ). Êðîìå òîãî,
                                                   √        √
   |x − v||y − u| λ1 (1 − λ2 ) ((x, x − y) + ∆)((y, y − x) + ∆)
                     =            =                √        √      =
   |x − u||y − v| λ2 (1 − λ1 ) ((x, y − x) + ∆)((y, x − y) + ∆)

                                      5

Страницы