Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

[((x, x − y) +
√
∆)((y, y − x) +
√
∆)]
2
(1 − x
2
)(1 − y
2
)(y − x)
4
=
(A +
√
∆)
2
B
.
ρ(x, y) = k ln
A
√
B
+
s
A
√
B
2
− 1
= kArch
A
√
B
,
x y ∈ B(0, 1)
ρ(x, y) =
k
2
ln
A +
√
∆
A −
√
∆
= kArth
√
∆
A
,
ρ(0, y) =
k
2
ln
1 + |y|
1 − |y|
= kArth |y| = kArch
1
p
1 − y
2
, |y| = th
ρ(0, y)
k
.
x y ∈ B(0, r)
˜ρ(x, y) =
k
2
ln
A +
√
∆
A −
√
∆
= kArth
√
∆
A
,
˜ρ(0, y) =
k
2
ln
r + |y|
r − |y|
= kArth
|y|
r
= kArch
r
p
r
2
− y
2
, |y| = rth
ρ(0, y)
k
,
∆ = A
2
− B A = r
2
− (x, y) B = (r
2
− x
2
)(r
2
− y
2
)
(Λ, ρ) f : (Λ, ρ) → (Λ, ρ)
x y ∈ Λ
ρ(f(x), f(y)) = ρ(x, y).
Iso(Λ)
Iso(B(0, 1))
                         √                    √            √
          [((x, x − y) + ∆)((y, y − x) + ∆)]2         (A + ∆)2
                                                    =           .
                  (1 − x2 )(1 − y 2 )(y − x)4             B
Ñëåäîâàòåëüíî,
                                 s              
                                            2
                           A             A                   A
        ρ(x, y) = k ln  √ +            √      − 1 = kArch √ ,
                            B             B                   B

Ñëåäñòâèå 1.  ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà äëÿ ëþáûõ x, y ∈ B(0, 1)
èìåþò ìåñòî ôîðìóëû
                                    √         √
                              k   A+ ∆          ∆
                     ρ(x, y) = ln   √ = kArth     ,
                              2   A− ∆         A
              k    1 + |y|                       1                        ρ(0, y)
 ρ(0, y) =      ln         = kArth |y| = kArch p       ,       |y| = th           .
              2    1 − |y|                      1 − y2                      k
Çàäà÷è.
   1. Ïðîèçâåñòè âñå âû÷èñëåíèÿ â òåîðåìàõ 1, 2 è ñëåäñòâèè 1.
  2. Äîêàçàòü, ÷òî â ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà äëÿ ëþáûõ x, y ∈ B(0, r)
èìåþò ìåñòî ôîðìóëû
                                     √         √
                               k   A+ ∆          ∆
                     ρ̃(x, y) = ln   √ = kArth     ,
                               2   A− ∆         A
             k    r + |y|         |y|             r                        ρ(0, y)
ρ̃(0, y) =     ln         = kArth     = kArch p          ,     |y| = rth           ,
             2    r − |y|          r            r2 − y 2                     k
ãäå ∆ = A2 − B , A = r2 − (x, y), B = (r2 − x2 )(r2 − y 2 ).

                2. Äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî.

   Äâèæåíèåì ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî íàçûâàåòñÿ èçîìåòðèÿ ïðî-
ñòðàíñòâà (Λ, ρ) íà ñåáÿ, ò.å. òàêàÿ ñþðúåêöèÿ f : (Λ, ρ) → (Λ, ρ), äëÿ
ëþáûõ x, y ∈ Λ
                             ρ(f (x), f (y)) = ρ(x, y).
Ãðóïïà âñåõ äâèæåíèé Iso(Λ) ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî, î÷åâèäíî, èçî-
ìîðôíà ãðóïïå âñåõ äâèæåíèé Iso(B(0, 1)) ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà.

                                         6

Страницы