Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

|f(x)ˆv||f(y)f(u
1
)|
|f(x)f(u
1
)||f(y)ˆv|
=
1 −
|f(y)ˆu||f(u
1
)ˆv|
|f(y)ˆv||f(u
1
)ˆu|
1 −
|f(u
1
)ˆv||f(x)ˆu|
|f(u
1
)ˆu||f(x)ˆv|
=
1 −
|yu||u
1
v|
|yv||u
1
u|
1 −
|u
1
v||xu|
|u
1
u||xv|
=
|xv||yu
1
|
|xu
1
||yv|
.
e E
E
x ∈ B(0, 1)
x = x
1
e + x
2
x
1
= (x, e) x
2
= x − x
1
e
a = pe p = |a| < 1
g
a
: B(0, 1) → B(0, 1)
ˆx
1
=
x
1
+ p
1 + px
1
, ˆx
2
=
x
2
p
1 − p
2
1 + px
1
.
(−a)
g
−1
a
= g
−a
: x
1
=
ˆx
1
− p
1 − pˆx
1
, x
2
=
ˆx
2
p
1 − p
2
1 − pˆx
1
.
g
a
x y ∈ B(0, 1) ρ(g
a
(x), g
a
(y)) = ρ(x, y).
g
a
1−(ˆx
1
)
2
−(ˆx
2
)
2
=
(1 + px
1
)
2
− (x
1
+ p)
2
− (1 − p
2
)x
2
2
(1 + px
1
)
2
=
(1 − p
2
)(1 − x
2
1
− x
2
2
)
(1 + px
1
)
2
B(0, 1) 
Òîãäà
                                               |f (y)û||f (u1 )v̂|
                                             1−
                  |f (x)v̂||f (y)f (u1 )|      |f (y)v̂||f (u1 )û|
                                          =                         =
                  |f (x)f (u1 )||f (y)v̂|      |f (u1 )v̂||f (x)û|
                                            1−
                                               |f (u1 )û||f (x)v̂|
                         |yu||u1 v|
                             1−
                         |yv||u1 u|   |xv||yu1 |
                                    =            .
                         |u1 v||xu|   |xu1 ||yv|
                     1−
                         |u1 u||xv|
Ïóñòü e  ôèêñèðîâàííûé åäèíè÷íûé âåêòîð èç àññîöèèðîâàííîãî äëÿ E
åâêëèäîâà âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà E .
  Ðàäèóñ-âåêòîð ïðîèçâîëüíîé òî÷êè x ∈ B(0, 1) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
ôîðìå x = x1 e + x2 , ãäå x1 = (x, e) è x2 = x − x1 e.
   Ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íà âåêòîð a = pe, ãäå p = |a| < 1, â ìîäå-
ëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ga : B(0, 1) → B(0, 1),
èìååþùåå âèä                            p
                          x1 + p               x2 1 − p2
                         x̂1 =     ,     x̂2 =              .
                         1 + px1                 1 + px1
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå åñòü ïàðàëëåëüíûé ïå-
ðåíîñ íà âåêòîð (−a), ò.å. èìååò âèä
                                                          p
                                     −                            2
                                 x̂1   p              x̂ 2 1−p
             ga−1 = g−a : x1 =            ,     x2 =                .
                                1 − px̂1                 1 − px̂1
1. Ïàðàëåëüíûé ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
     Ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ga  áèåêöèÿ. Íåòðóäíî íåïîñðåäñòâåííî ïðî-
âåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, y ∈ B(0, 1) ρ(ga (x), ga (y)) = ρ(x, y).
  Åùå ïðîùå âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 1. Èç âèäà áèåêöèè ga ñëåäóåò,
÷òî ýòî ïðîåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå. À èç ðàâåíñòâ

                       (1 + px1 )2 − (x1 + p)2 − (1 − p2 )x22   (1 − p2 )(1 − x21 − x22 )
1−(x̂1 )2 −(x̂2 )2 =                                          =
                                    (1 + px1 )2                      (1 + px1 )2
ñëåäóåò, ÷òî ýòî ïðîåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñîõðàíÿåò îòêðûòûé øàð
B(0, 1).


                                            8

Страницы