Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
1
= X
1
/Z x
2
= X
2
/Z
g
a
λ
ˆ
X
1
= X
1
+ pZ, λ
ˆ
X
2
= X
2
p
1 − p
2
, λ
ˆ
Z = pX
1
+ Z.
(i) f ∈ Iso(B(0, 1)) f(0) = 0 f(0) = 0
f
(ii) f ∈ Iso(B(0, 1)) f = g
f(0)
◦U U
(i)
ρ(f(0), f(x)) = ρ(0, x) = ρ(0, f(x)) ⇔ kArth |f(x)| = kArth |x| ⇔ |f(x)| = |x|.
(ii) (i)
U(x) = g
−1
f(0)
(f(x)) ⇒ U(0) = 0.
ˆx =
ax + by + c
px + qy + r
, ˆy =
lx + my + n
px + qy + r
,
a
2
+ l
2
− p
2
= b
2
+ m
2
− q
2
= −c
2
− n
2
+ r
2
= 1,
ab + lm − pq = ac + ln − pr = bc + mn − qr = 0.
(ˆx)
2
+ (ˆy)
2
− 1 =
V
(px + qy + r)
2
,
V = (a
2
+ l
2
− p
2
)x
2
+ (b
2
+ m
2
− q
2
)y
2
+
c
2
+ n
2
− r
2
+ 2(ab + lm − pq)xy + 2(ac + ln − pr)x + 2(bc + mn − qr)y.
S(0, 1)
(ˆx)
2
+ (ˆy)
2
− 1 =
(x
2
+ y
2
− 1)(a
2
+ l
2
− p
2
)
(px + qy + r)
2
.
   2. Â îäíîðîäíûõ êîìïîíåíòàõ x1 = X1 /Z , x2 = X2 /Z ïàðàëëeëüíûé
ïåðåíîñ ga , î÷åâèäíî, èìååò âèä
                                              p
        λX̂1 = X1 + pZ,        λX̂2 = X2       1 − p2 ,       λẐ = pX1 + Z.
Òåîðåìà 2.  ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà âåðíû ñëåäóþùèå óòâåðæäå-
íèÿ.
  (i) f ∈ Iso(B(0, 1)) è f (0) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f (0) = 0 è
f  îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå.
  (ii) Ëþáîå äâèæåíèå f ∈ Iso(B(0, 1)) èìååò âèä f = gf (0) ◦ U , ãäå U 
îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå.
     (i) Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òåîðåìû 1 è ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâ è èì-
ïëèêàöèé
ρ(f (0), f (x)) = ρ(0, x) = ρ(0, f (x)) ⇔ kArth |f (x)| = kArth |x| ⇔ |f (x)| = |x|.
(ii) Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç (i) è ñëåäóþùåé èìïëèêàöèè
                       U (x) = gf−1
                                  (0) (f (x)) ⇒ U (0) = 0.

Ëåììà 2.  ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ëþáîå
äâèæåíèå èìååò âèä
                         ax + by + c                  lx + my + n
                  x̂ =               ,         ŷ =                ,
                         px + qy + r                   px + qy + r
ãäå âåùåñòâåííûå êîýôôèöèåíòû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
              a2 + l2 − p2 = b2 + m2 − q 2 = −c2 − n2 + r2 = 1,
             ab + lm − pq = ac + ln − pr = bc + mn − qr = 0.
  Ïîäñ÷èòàåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå
                                               V
                   (x̂)2 + (ŷ)2 − 1 =                  ,       ãäå
                                         (px + qy + r)2
                  V = (a2 + l2 − p2 )x2 + (b2 + m2 − q 2 )y 2 +
 c2 + n2 − r2 + 2(ab + lm − pq)xy + 2(ac + ln − pr)x + 2(bc + mn − qr)y.
Èç óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ S(0, 1) ïîëó÷èì

                   2       2      (x2 + y 2 − 1)(a2 + l2 − p2 )
                (x̂) + (ŷ) − 1 =                               .
                                        (px + qy + r)2
                                          9

Страницы