Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
l
= kArch
1
√
1 − a
2
, b
l
= kArch
1
√
1 − b
2
, c
l
= kArch
1
√
1 − a
2
√
1 − b
2
.
z ∈ B(0, 1) P [x, y] L[z, a)
L[x, y)
L[z, a) ∩ S(0, 1) = L[x, y) ∩ S(0, 1).
P [z, a] P [x, y]
z P [z, b] P [x, y]
L[z, a) L[z, b)
α
l
= 2 arctg e
−
x
l
k
cos α
l
= th
x
l
k
,
α
l
x
l
n = 2 a =< p; 0 >
g
a
(< 0; 0 >) =< p; 0 >, g
a
(< 0; 1 >) =< p;
p
1 − p
2
> .
cos α
l
= cos α = x = th
x
l
k
,
  Ðàñïîëîæèì òðåóãîëüíèê òàê, ÷òîáû åãî âåðøèíà, ïðîòèâîëåæàùàÿ ãè-
ïîòåíóçå, íàõîäèëàñü â öåíòðå êðóãà. Òîãäà
                 1                              1                                 1
al = kArch √          ,        bl = kArch √           ,    cl = kArch √            √       .
               1 − a2                          1 − b2                     1 − a2 1 − b 2
Ïóñòü òî÷êà z ∈ B(0, 1) íå ïðèíàäëåæèò ë-ïðÿìîé P [x, y]. Ë-ëó÷ L[z, a)
íàçûâàåòñÿ ë-ïàðàëëåëüíûì ë-ëó÷ó L[x, y), åñëè

                          L[z, a) ∩ S(0, 1) = L[x, y) ∩ S(0, 1).
Ïðÿìûå P [z, a] è P [x, y] íàçûâàþòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ïàðàëëåëüíûìè.
  Òàêèì îáðàçîì, ÷åðåç òî÷êó âíå äàííîé ë-ïðÿìîé â ïëîñêîñòè
Ëîáà÷åâñêîãî ïðîõîäÿò òî÷íî äâå ïðÿìûå, ë-ïàðàëëåëüíûå äàí-
íîé ë-ïðÿìîé.
   Ïðîâåäåì èç òî÷êè z ë-ïåðïåíäèêóëÿð P [z, b] ê ë-ïðÿìîé P [x, y]. Ë-
óãîë (è åãî âåëè÷èíà) ìåæäó ë-ëó÷àìè L[z, a) è L[z, b) íàçûâàåòñÿ óãëîì
ïàðàëëåëüíîñòè.
   Äâå ë-ïðÿìûå â ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî íàçûâàþòñÿ ðàñõîäÿùèìè-
ñÿ èëè ñâåðõïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ è íå ÿâëÿþòñÿ
ë-ïàðàëëåëüíûìè.
  Òåîðåìà 2. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ôîðìóëû Ëîáà÷åâñêîãî
                                         xl     xl
                      αl = 2 arctg e− k            cos αl = th
                                                   ,
                                                 k
ãäå αl  óãîë ïàðàëëåëüíîñòè, xl  äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííîãî
èç òî÷êè âíå ïðÿìîé ê ýòîé ïðÿìîé. Ïðè ýòîì ïåðâàÿ ôóíêöèÿ íàçûâà-
åòñÿ ôóíêöèåé Ëîáà÷åâñêîãî.
     Åñëè îäíà ë-ïðÿìàÿ ñîäåðæèò öåíòð øàðà, òî â ñèëó ñîõðàíåíèÿ
ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðè ë-ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå âäîëü ýòîé ë-ïðÿìîé
å-ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ åé ë-ïðÿìàÿ áóäåò è ë-ïåðïåíäèêóëÿðíîé. Äåéñòâè-
òåëüíî, ïðè n = 2 è a =< p; 0 >
                                                                    p
       ga (< 0; 0 >) =< p; 0 >,               ga (< 0; 1 >) =< p;    1 − p2 > .
Ïîìåñòèâ âåðøèíó óãëà ïàðàëåëëüíîñòè â öåíòð êðóãà, ïîëó÷èì
                                                          xl
                             cos αl = cos α = x = th         ,
                                                          k
                                              11

Страницы