Геометрия Лобачевского и ее применение в специальной теории относительности. Часть 1. Сосов Е.Н. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

χ : (B(0, 1), ρ) → (B(0, r), ˜ρ), χ(x) = rx
r > 0 x y ∈ B(0, r)
˜ρ(x, y) = kArch
r
2
− (x, y)
√
r
2
− x
2
p
r
2
− y
2
.
B(0, 1)
E B(0, 1)
f ∈ Iso(B(0, 1)) z ∈ [x, y] ⊂ B(0, 1) ρ(x, z) + ρ(z, y) =
ρ(x, y)
f(z) ∈ [f(x), f(y)] f
|f(x)ˆv||f(y)ˆu|
|f(x)ˆu||f(y)ˆv|
=
|xv||yu|
|xu||yv|
,
{ˆv} = L[f(x), f(y)) ∩ S(O, 1) {ˆu} = L[f(y), f(x)) ∩ S(O, 1)
f
f
u
1
∈ [u, x]\{u} x y v
|f(u
1
)ˆv||f(x)ˆu|
|f(u
1
)ˆu||f(x)ˆv|
=
|u
1
v||xu|
|u
1
u||xv|
.
   ×òî ïðîèçîéäåò, åñëè â îïðåäåëåíèè ïðîñòðàíñòâà Ëîáà÷åâñêîãî èçìå-
íèòü ðàäèóñ øàðà? Îêàçûâàåòñÿ ïîëó÷èòñÿ èçîìåòðè÷íîå èñõîäíîìó ïðî-
ñòðàíñòâî Ëîáà÷åâñêîãî.
  Ýòî ñðàçó ñëåäóåò èç ñëåäóþùåé ëåììû, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé òàêæå
ïî÷òè î÷åâèäíî.
   Ëåììà 1. Îòîáðàæåíèå
                χ : (B(0, 1), ρ) → (B(0, r), ρ̃),      χ(x) = rx

äëÿ êàæäîãî r > 0 ÿâëÿåòñÿ èçîìåòðèåé, åñëè äëÿ ëþáûõ x, y ∈ B(0, r)

                                           r2 − (x, y)
                     ρ̃(x, y) = kArch √         p          .
                                        r 2 − x2 r 2 − y 2
Âûÿñíèì, êàêîé âèä èìååò ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå â ìîäåëè Áåëüòðàìè
Êëåéíà.
   Òåîðåìà 1.  ìîäåëè ÁåëüòðàìèÊëåéíà ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå
åñòü îãðàíè÷åíèå íà îòêðûòûé øàð B(0, 1) ïðîåêòèâíîãî ïðåîáðàçîâà-
íèÿ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E, ñîõðàíÿþùåãî B(0, 1).
      Ïóñòü f ∈ Iso(B(0, 1)) è z ∈ [x, y] ⊂ B(0, 1). Òîãäà ρ(x, z) + ρ(z, y) =
ρ(x, y).
   Ñëåäîâàòåëüíî, f (z) ∈ [f (x), f (y)]. Êðîìå òîãî, f ñîõðàíÿåò ñëîæíîå
îòíîøåíèå ÷åòûðåõ òî÷åê ñïåöèàëüíîãî âèäà
                          |f (x)v̂||f (y)û| |xv||yu|
                                            =         ,
                          |f (x)û||f (y)v̂| |xu||yv|
ãäå {v̂} = L[f (x), f (y)) ∩ S(O, 1), {û} = L[f (y), f (x)) ∩ S(O, 1). Îñòàëîñü
äîêàçàòü, ÷òî f ñîõðàíÿåò ïðîèçâîëüíîå ñëîæíîå îòíîøåíèå ÷åòûðåõ òî-
÷åê.
   Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî f ñîõðàíÿåò ñëîæíîå
îòíîøåíèå ÷åòûðåõ òî÷åê âèäà u1 ∈ [u, x]\{u}, x, y è v . Èç ïðåäûäóùåãî
ñâîéñòâà ïîëó÷èì
                         |f (u1 )v̂||f (x)û| |u1 v||xu|
                                             =           .
                         |f (u1 )û||f (x)v̂| |u1 u||xv|


                                        7

Страницы