Физические методы исследования. Семинарские занятия. Часть 2. Стариковская С.М. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

dN
2
dt
=Ω
12
(N − N
2
) − Ω
21
N
2
− 1/τ
0
N
2
+ W
12
(N − N
2
) − W
21
N
2
; (2.49)
dN
2
dt
=(Ω
12
+ W
12
)N − (Ω
21
+Ω
12
+1/τ
0
+ W
12
+ W
21
)N
2
; (2.50)
dN
2
dt
= A − bN
2
; (2.51)
A =(Ω
12
+ W
12
)N; b =(Ω
21
+Ω
12
+
1
τ
0
+2W
12
) (2.52)
Будем искать решение уравнения в виде
N
2
= C
1
e
λt
+ C
2
(2.53)
dN
2
/dt = λC
1
e
λt
(2.54)
dN
2
dt
= A − bN
2
= λC
1
e
λt
= A − b(C
1
e
λt
+ C
2
) (2.55)
Тогда получим:
(λC
1
+ bC
1
)e
λt
= A − bC
2
, (2.56)
откуда
λ = −b, A = bC
2
(2.57)
N
2
= C
1
e
−bt
+
A
b
(2.58)
Проверка:
dN
2
dt
= A − b(C
1
e
−bt
+
A
b
)=−bC
1
e
−bt
(2.59)
Коэффициент C
1
определим из начальных условий:
N
2
= N
0
2
= C
1
+
A
b
, (2.60)
C
1
= N
0
2
−
A
b
(2.61)
Тогда окончательно
N
2
=(N
0
2
−
A
b
)e
−bt
+
A
b
(2.62)
В предположении, что N
2
N
1
,
N
2
(t)=
(Ω
12
+ W
12
)N
Ω
12
+Ω
21
+
1
τ
0
+2W
12
(1 − e
−(Ω
12
+Ω
21
+
1
τ
0
+2W
12
)t
) (2.63)
52
   dN2
       = Ω12 (N − N2 ) − Ω21 N2 − 1/τ0 N2 + W12 (N − N2 ) − W21 N2 ;       (2.49)
    dt

         dN2
             = (Ω12 + W12 )N − (Ω21 + Ω12 + 1/τ0 + W12 + W21 )N2 ;         (2.50)
          dt
                                dN2
                                    = A − bN2 ;                            (2.51)
                                 dt
                                                             1
         A = (Ω12 + W12 )N ;              b = (Ω21 + Ω12 +      + 2W12 )   (2.52)
                                                             τ0
Будем искать решение уравнения в виде

                                N2 = C1 eλt + C2                           (2.53)

                                dN2 /dt = λC1 eλt                          (2.54)

             dN2
                  = A − bN2 = λC1 eλt = A − b(C1 eλt + C2 )                (2.55)
               dt
Тогда получим:

                           (λC1 + bC1 )eλt = A − bC2 ,                     (2.56)
откуда

                           λ = −b,             A = bC2                     (2.57)

                                                   A
                                N2 = C1 e−bt +                             (2.58)
                                                   b
Проверка:
                dN2                  A
                    = A − b(C1 e−bt + ) = −bC1 e−bt                        (2.59)
                 dt                  b
Коэффициент C1 определим из начальных условий:
                                                   A
                              N2 = N20 = C1 +        ,                     (2.60)
                                                   b
                                               A
                                  C1 = N20 −                               (2.61)
                                               b
Тогда окончательно
                                          A −bt A
                            N2 = (N20 −     )e +                           (2.62)
                                          b      b
В предположении, что N2  N1 ,

                         (Ω12 + W12 )N           −(Ω +Ω + 1 +2W12 )t
          N2 (t) =               1         (1 − e 12 21 τ0           )     (2.63)
                     Ω12 + Ω21 + τ0 + 2W12

                                        52

Страницы