ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Правило нахождения координат вектора, если известны
координаты начала и конца вектора.
4. Длина и направляющие косинусы вектора.
5. Связь между направляющими косинусами вектора.
6. Правило сложения векторов в геометрической и коорди-
натной формах.
7. Правило умножения вектора на число в геометрической и
координатной формах.
8. Как определить направление вектора в пространстве ?
Задача 2. Отрезок АВ, где А(7,2,3), В(-5,0,4) разделен точкой
С в отношении k
AB
BC
==
1
4
. Найти координаты точки С.
Решение: Пусть точка С(х, у).
AB AC=− − =− −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
(,,), ,,12 2 7
12
5
2
5
7
5
. С другой сторо-
ны,
AC x y z=− − +(,,),723значит
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=+−==+
=−=−=−
=−=−=−
5
8
,
5
8
,
5
23
:Ответ
5
8
5
7
3,
5
7
3
,
5
8
5
2
2,
5
2
2
,
5
23
5
12
7,
5
12
7
zz
yy
xx
Задача 3. Лежат ли точки А(2,4,1), В(3,7,5), С(4,10,9) на
одной прямой?
Решение: Если точки А,В,С лежат на одной прямой, то век-
торы
AB AC BC,,коллинеарны, т.е. их координаты пропор-
циональны. Найдем координаты векторов :
A
B =(1,3,4),
A
С
=(2,6,8),
B
C =(1,3,4). Сравнивая координаты векторов,
видим, что точки А,В,С лежат на одной прямой.
Задача 4. Найти координаты вектора , если он составляет с
осями ОХ и OZ соответственно углы
αγ
==60 2
0
и = 120 и
0
a .
Решение: Пусть
a xyz xa za za
=
=
=
=( , , ), cos , cos , cos тогда
α
γ
β
Так как по условию
a ==260
0
,
αγ
, =120 ,
0
то xz=⋅ = =⋅−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=−2
1
2
12
1
2
1,
2,2)1()1(4
, ,
22
22
2
2222
2
222
±==−−−=
=−−=++=++=
y
zxayzyxazyxa
Ответ:
(
)
a =± −121,,
Задача 5. Даны точки А(1,-3,2), В(1,0,1), С(1,-4,0), Д(0,1,3).
Найти длину и координаты вектора, соединяющего середи-
ны векторов
AB СД и .
3. Правило нахождения координат вектора, если известны Задача 3. Лежат ли точки А(2,4,1), В(3,7,5), С(4,10,9) на
координаты начала и конца вектора. одной прямой?
4. Длина и направляющие косинусы вектора. Решение: Если точки А,В,С лежат на одной прямой, то век-
5. Связь между направляющими косинусами вектора. торы AB, AC , BC коллинеарны, т.е. их координаты пропор-
6. Правило сложения векторов в геометрической и коорди-
циональны. Найдем координаты векторов : AB =(1,3,4),
натной формах.
AС =(2,6,8), BC =(1,3,4). Сравнивая координаты векторов,
7. Правило умножения вектора на число в геометрической и
видим, что точки А,В,С лежат на одной прямой.
координатной формах.
Задача 4. Найти координаты вектора , если он составляет с
8. Как определить направление вектора в пространстве ?
осями ОХ и OZ соответственно углы
Задача 2. Отрезок АВ, где А(7,2,3), В(-5,0,4) разделен точкой
α = 60 0 и γ = 120 0 и a = 2.
AB 1
С в отношении k = = . Найти координаты точки С.
BC 4 Решение: Пусть
Решение: Пусть точка С(х, у). a = ( x , y , z ), тогда x = a cos α , z = a cos γ , z = a cos β
⎛ 12 2 7 ⎞ Так как по условию
AB = ( −12,−2,7), AC = ⎜ − ,− , ⎟ . С другой сторо-
⎝ 5 5 5⎠ 1 ⎛ 1⎞
a = 2, α = 60 0 , γ = 120 0 , то x = 2 ⋅ = 1, z = 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = −1
2 ⎝ 2⎠
ны, AC = ( x − 7, y − 2, z + 3), значит
2 2
⎧ 12 12 23 a = x2 + y2 + z 2 , a = x2 + y 2 + z 2 , y 2 = a − x2 − z 2 =
⎪ x − 7 = − , x = 7 − = ,
5 5 5 = 4 − (1) 2 − (−1) 2 = 2, y = ± 2
⎪⎪ 2 2 8 ⎛ 23 8 8 ⎞
⎨ y−2 = − ,y = 2− = , Ответ : ⎜ , ,− ⎟
⎪ 5 5 5 ⎝ 5 5 5⎠ (
Ответ: a = 1,± 2 ,−1 )
⎪ z + 3 = , z = −3 + = − 8
7 7
⎪⎩ 5 5 5 Задача 5. Даны точки А(1,-3,2), В(1,0,1), С(1,-4,0), Д(0,1,3).
Найти длину и координаты вектора, соединяющего середи-
ны векторов AB и СД .
