Методическое пособие по лабораторной работе "Формирование и регистрация радиоголограмм простейших объектов". Часть 6. Струков И.Ф. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
Рассмотрим пространственные спектры различных слагаемых
пропускания (25). При этом не будет учитывать конечность размеров
диапозитива, т.е. будем считать спектры диапозитивов узкополосными.
(
)
(
)
{
}
(
)
yxbyx
fftyxtFffG ,,,
11
δ
&&
&
==
(27)
1. Преобразование, комплексно сопряженное преобразованию Фурье,
изменяет знак аргумента функции на обратный, т.е. если
(
)
(
)
yx
ffGyxFf ,, = , то
(
)
(
)
yx
ffGyxfF −−=
∗
,,
, где
F
,
∗
F
- операции прямого и обратного
преобразований Фурье.
Применяя теорему свертки, или автокорреляции, к
(
)
2
2
, yxat
&
&
β
′
=
, можно
записать
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
yxayxayx
ffGffGyxayxaFyxtFffG ,,,,,,
22
&&
&&
&
&
⊗
′
=
′
== ββ
(28)
Применяя
F
к
3
t
&
, получим
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
yfjyxaAFyfjyxaAF
00
2exp,2exp,
π
β
π
β
&&
′
′
В соответствии с теоремой о смещении последнее выражение принимает вид
(
)
0
, fffGA
yx
−
′
&
β (29)
Аналогично для
4
t
&
{
}
(
)
{
}
(
)
(
)
{
}
yfjyxaFAyfjaAFtF
004
2exp,2exp πβπβ −
′
=−
′
=
∗∗
&
&
&
&
&
Применяя к этому выражению теорему о смещении и формулу о комплексно-
сопряженном преобразовании, получим
(
)
0
, fffGA
yx
−−−
′
&
β (30)
2. Теорема смещения: если
(
)
(
)
{
}
tfFG = ω
&
, то
(
)
(
)
{
}
(
)
00
exp ωωω −= GtjtfF
&
;
если
(
)
(
)
{
}
tfFG = ω
&
, то
(
)
{
}
(
)
(
)
00
exp tjGttfF
ω
ω
.
3. Спектральная плотность сигнала
(
)
tf
∗
, комплексно сопряженного
данному -
(
)
tf
, равна комплексно сопряженной спектральной плотности с
измененным на обратный аргументом , т.е. если
(
)
(
)
ω
GtFf
, то
(
)
(
)
ω−=
∗∗
GtFf
4. Спектральная плотность произведения 2-х функций
(
)
(
)
tftf
21
равна
свертке этих функций умноженной на
π
2
1
() ()()
2121
2
1
2
1
GGdxxGxGG ⊗=−=
∫
∞
∞−
π
ω
π
ω
Представим спектры (27-30) на графике (рис.11), имея в виду , что это
спектры амплитудно - модулированных сигналов. Предположим, что
минимальная пространственная частота предметного сигнала
(
)
yxa ,
&
равна
0
B
периодов/ мм. Тогда ширина (29-30) компонент, расположенных
симметрично относительно начала координат , равна
0
2 B
(Рис. 11а,в).
Спектральная плотность
(
)
ω
1
G
&
(27) есть дельта функция, совпадающая с
вертикальной осью . Ширина спектра (28) равна
0
4 B . Это следует из вида
самой функции, а также из сравнения спектра квадрата сигнала, если 
                                                                 18


       Рассмотрим п ространственны е сп ек тры                                                    различны х слагаемы х
п роп уск ания (25). П ри этом не будет учиты вать к онечность размеров
диап озитива, т.е. будем считать сп ек тры диап озитивовузк оп олосны ми.
                                                   G& 1 ( f x , f y ) = F {t&1 (x, y )} = t&bδ ( f x , f y )                       (27)
1.       П реобразование, к омп лек сно соп ряж енное п реобразованию Ф урье,
изменяетзнак аргументаф унк ции наобратны й, т.е. если Ff (x, y ) = G ( f x , f y ) , то
F ∗ f (x, y ) = G (− f x ,− f y ) , где F , F ∗ - оп ера                               ции п рямого и обратного
п реобразований Ф урье.
   П рименяя теорему свертк и, или авток орреляции, к t&2 = β ′ a& (x, y ) , мож но
                                                                                                                             2


зап исать
                   G& 2 ( f x , f y ) = F {t&2 (x, y )} = F {β ′a& (x, y )a& (x, y )} = β ′G& a ( f x , f y ) ⊗ G& a ( f x , f y ) (28)
П рименяя F к t&3 , п олучим
                             F {β ′Aa& ( x, y ) exp( j 2πf 0 y )} = β ′AF {a& (x, y ) exp( j 2πf 0 y )}
В соответствии стеоремой о смещ ении п оследнее вы раж ение п ринимаетвид
                                  β ′AG& ( f x , f y − f 0 )          (29)
А налогично для t&4
                                     {                            }           {
                       F {t&4 } = F& β ′Aa& ∗ exp(− j 2πf 0 y ) = β ′AF& a& ∗ ( x, y ) exp(− j 2πf 0 y )     }
П рименяяк этому вы раж ению теорему о смещ ении и ф ормулу о к омп лек сно-
соп ряж енном п реобразовании, п олучим
                                                    β ′AG& (− f x ,− f y − f 0 )                     (30)
2.    Т еоремасмещ ения: если G& (ω ) = F { f (t )} , то F { f (t ) exp( jω 0 t )} = G& (ω − ω 0 ) ;
      если G& (ω ) = F { f (t )}, то F { f (t − t 0 )} = G(ω ) exp(− jωt 0 ) .
3.    Сп ек тральная п лотность сигнала f ∗ (t ) , к омп лек сно соп ряж енного
данному - f (t ) , равнак омп лек сно соп ряж енной сп ек тральной п лотности с
измененны м наобратны й аргументом, т.е. если Ff (t ) = G(ω ) , то Ff ∗ (t ) = G ∗ (− ω )
4.    Сп ек тральная п лотность п роизведения 2-х ф унк ций f1 (t ) f 2 (t ) равна
                                                                    1
свертк е этих ф унк ций умнож енной на
                                                                   2π
                                                    ∞
                                   G (ω ) =         ∫ G (ω − x )G (x )dx = 2π G
                                                1                           1
                                                                                             ⊗ G2
                                               2π
                                                         1            2                  1
                                                    −∞



       П редставим сп ек тры (27-30) награф ик е (рис.11), имея в виду, что это
сп ек тры амп литудно-модулированны х сигналов. П редп олож им, что
минимальная п ространственная частотап редметного сигналаa& (x, y ) равнаB0
п ериодов/мм. Т огда ширина (29-30) к омп онент, расп олож енны х
симметрично относительно начала к оординат, равна 2B0 (Рис. 11а,в).
Сп ек тральная п лотность G& 1 (ω ) (27) есть дельта ф унк ция, совп адаю щ ая с
вертик альной осью . Ш иринасп ек тра(28) равна 4B0 . Э то следует из вида
самой ф унк ции, а так ж е из сравнения сп ек тра к вадрата сигнала, если

Страницы