Методы прогнозирования. Сухарев М.Г. - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

184
1 1 -1
2
1
.
T T T T T T
s
P X X X X X X X X X I X X X P
В основе доказательств соотношения (В.3) и соотношения,
ему предшествующего, лежат следующие рассуждения.
Собственные числа идемпотентной матрицы равны либо 1,
либо 0. Действительно, пусть
собственное число матрицы
P
.
Поскольку
2
, то из соотношения
PX X
следует
2 2
T
T T T T
X X X PX X P X PX PX X X
, то есть
1 0
.
Далее, известно, что симметричная матрица невырожден-
ным ортогональным преобразованием может быть приведена к
сумме квадратов. Значит, для матрицы
n
I P
найдется ортого-
нальная матрица
A
такая, что
T
n
A I P A
Λ
, где ― диаго-
нальная матрица, составленная из собственных чисел матрицы
n
I P
. В силу невырожденности матрицы
A
rank rank ( ) tr( )
T
n
A I P A
Λ Λ
, так как
tr
Λ
равен количе-
ству собственных значений равных 1.
Приведенные выше свойства матриц
P
и
n
I P
позволяют
получить важные выводы.
В.3 Теорема о распределении квадратичной формы
Теорема. Пусть выборка из
n
членов взята из нормального
распределения
2
( , )
n
N
Y m I
. Тогда, если
P
― идемпотентная
матрица
2
ранга
1
s
, то квадратичная форма
2
T
Q
Y m P Y m имеет распределение
2
( 1)
s
.

Страницы