От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 12 стр.

φ(x2 ) = φ(x1 ) ∨ φ(x2 ) ⇔ φ(x1 ) ≤ φ(x2 ). Это говорит о том, что определения
порядкового и алгебраического изоморфизма решёток совпадают.
  2.5. Часть V решётки L называется подрешёткой решётки L, если x, y ∈
V ⇒ x ∨ y ∈ V, x ∧ y ∈ V . Ясно, что пересечение любого семейства подрешё-
ток, снова подрешётка. Поэтому существует наименьшая подрешётка L(A),
содержащая A, для любого подмножества A ⊆ L; при этом элементы из
множества A называются образующими. Далее, пусть Lt , t ∈ T – семейство
                                       ∏
решёток. В декартовом произведении L =   Lt введем (покоординатные)
                                                   t∈T
алгебраические операции:

                 (xt ) ∨ (yt ) = (xt ∨ yt ), (xt ) ∧ (yt ) = (xt ∧ yt ).

Тогда по теореме 2.2 L является решёткой, в которой (xt ) ≤ (yt ) ⇔ ∀t ∈
T (xt ≤ yt ). Эта решётка называется прямым произведением решёток Lt .
  2.6. Часть I решётки L называется идеалом, если
            i) x ∈ I, L ∋ y ≤ x ⇒ y ∈ I ii) x, y ∈ I ⇒ x ∨ y ∈ I .
Из определения следует, что любой идеал I является подрешёткой решётки
L; более того, эта подрешётка выпукла: ∀a, b ∈ I, c ∈ L(a ≤ c ≤ b ⇒ c ∈ I).
Нетрудно также видеть, что два утверждения i), ii) можно объединить в одно:
              I – идеал ⇔ ∀x, y ∈ L(x ∨ y ∈ I ⇔ x ∈ I, y ∈ I).
Ясно, что пересечение любого семейства идеалов, снова идеал. Поэтому суще-
ствует наименьший идеал I(H), содержащий H , для любого подмножества
H ⊆ L. Например, I(a) = I({a}) = {x ∈ L : x ≤ a} = {x ∧ a : x ∈ L}; такой
идеал называется главным. Идеал, отличный от L, называется собственным.
Собственный идеал I называется простым, если a∧b ∈ I ⇒ a ∈ I или b ∈ I .
  Покажем, что I(H) = {x ∈ L : ∃ n ≥ 1 ∃ h1 , ..., hn ∈ H(x ≤ h1 ∨ ... ∨ hn )}.
Действительно, множество I = {x ∈ L : ∃ n ≥ 1 ∃ h1 , ..., hn ∈ H(x ≤ h1 ∨ ... ∨
hn )} ⊃ H и удовлетворяет условиям i) и ii), то есть является идеалом. Если
же J есть идеал, содержащий H , то I ⊂ J в силу того, что h1 ∨ ... ∨ hn ∈ J .
Следовательно,I = I(H).
  2.7. Теорема. Множество J (L) всех идеалов решётки L, упорядоченное

                                          12