От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 10 стр.

  Доказательство немедленно следует из 1.8.

1 ◦ Пусть α, β ∈ EX . Тогда α ◦ β ∈ EX ⇔ α ◦ β = β ◦ α; α ∪ β ∈ EX ⇔
(α ◦ β) ∪ (β ◦ α) = α ∪ β.
2 ◦ Пусть α, β ∈ OX . Тогда α∪β ∈ OX ⇔ (α◦β)∪(β◦α) = α∪β, α∩β −1 = ∆.
3 ◦ Пусть α, β ∈ N X . Если α ◦ β = β ◦ α, то α ◦ β ∈ N X
4 ◦ Пусть α, β ∈ N X . Тогда α ∪ β ∈ N X ⇔ (α ◦ β) ∪ (β ◦ α) = α ∪ β.
5 ◦ Покажите, что множества OX , EX замкнуты относительно произволь-
ных пересечений. При каких условиях на α, β ∈ N X будет α ∩ β ∈ N X ?



                                 §2. Решётки


  2.1. У.м L называется решёткой, если ∀x, y ∈ L(x ∨ y ∈ L, x ∧ y ∈ L).
Решётка L называется полной, если ∀E ⊂ L(sup E ∈ L, inf E ∈ L).
  Наряду с приведенным порядковым определением решётки дадим также
алгебраическое определение решётки. Алгебраическая система L c двумя би-
нарными операциями ∨, ∧ такая, что ∀a, b ∈ L выполнены требования
  a1) операции ∨, ∧ коммутативны и ассоциативны,
  a2) a ∧ (a ∨ b) = a; a ∨ (a ∧ b) = a (законы поглощения);
называется решёткой.
  2.2. Теорема. Алгебраическое и порядковое определения решётки эквива-
лентны.
  Доказательство. Пусть L порядковая решётка. Тогда положив a ∨ b =
sup{a, b}; a ∧ b = inf{a, b}, получаем алгебраические операции, удовлетво-
ряющие требованиям a1), a2).
  Обратно, пусть L алгебраическая решётка. Из законов поглощения следует,
что a = a ∧ (a ∨ (a ∧ b)) = a ∧ a; a = a ∨ (a ∧ (a ∨ b)) = a ∨ a то есть операции
∨, ∧ идемпотентны.
  Теперь определим порядок в L : a ≤ b ⇔ a = a ∧ b. Действительно,
отношение ≤ рефлексивно в силу идемпотентности ∧. Оно антисимметрично

                                       10