От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a) E
1
⊆ E
2
⇒ E
i
2
⊆ E
i
1
; E
s
2
⊆ E
s
1
; sup E
1
≤ sup E
2
, inf E
2
≤ inf E
1
.
b) Следующие три утверждения равносильны: x ≤ y; x = x ∧ y; y = x ∨ y .
c) x
k
≤ y
k
(k = 1, ..., n) ⇒
n
∨
k=1
x
k
≤
n
∨
k=1
y
k
;
n
∧
k=1
x
k
≤
n
∧
k=1
y
k
(сохранение порядка
точными границами).
d) Пусть E – семейство подмножеств у.м X и F = ∪{E : E ∈ E}. Тогда
sup F = ∨{sup E : E ∈ E}; inf F = ∧{inf E : E ∈ E} (ассоциативность
точных границ).
Доказательство d). Обозначим y
E
= sup E, y =
∨
E∈E
y
E
. Если x ∈ F ,
то существует E ∈ E такое, что x ∈ E . Значит x ≤ y
E
≤ y, y ∈ F
s
. Пусть
z ∈ F
s
. Так как E ⊂ F , то по a) F
s
⊂ E
s
и z ∈ E
s
для любого E ∈ E . Значит
z ≥ y
E
(E ∈ E). Поэтому z ≥ y и, следовательно, y = sup F . Доказательство
для inf F аналогично.
1.8. Приведём некоторые свойства изоморфизмов и антиизоморфизмов.
Пусть φ – изоморфизм, а ψ – антиизоморфизм. Тогда:
i) φ(E
s
) = φ(E)
s
; φ(E
i
) = φ(E)
i
.
ii) φ(sup E) = sup φ(E); φ(inf E) = inf φ(E).
iii) ψ(E
s
) = ψ(E)
i
; ψ(E
i
) = ψ(E)
s
.
iv) ψ(sup E) = inf ψ(E); ψ(inf E) = sup ψ(E).
Доказательство i). Пусть z ∈ E
s
. Это означает x ≤ z для любого x ∈ E‘.
Тогда φ(x) ≤ φ(z) и значит φ(z) ∈ φ(E)
s
. Итак, φ(E
s
) ⊂ φ(E)
s
. Обратно,
если ∀x ∈ E(φ(x) ≤ y), то φ(x) ≤ φ(φ
−1
(y)). Поэтому x ≤ φ
−1
(y) и φ
−1
(y) ∈
E
s
, y = φ(φ
−1
(y)) ∈ φ(E
s
). Таким образом, φ(E)
s
⊂ φ(E
s
).
ii) Пусть z = sup E ∈ E
s
∩E
si
. Так как любая биекция сохраняет пересече-
ния, то φ(z) ∈ φ(E
s
)∩φ(E
si
). В силу i) φ(z) ∈ φ(E)
s
∩φ(E)
si
и, следователь-
но, φ(z) = sup φ(E). Доказательства для антиизоморфизмов аналогичны.
1.9. Принцип двойственности.Если в у.м справедливо утверждение,
использующее порядок ≤ и операции ∨, ∧, то справедливо и двойственное
утверждение, полученное заменой порядка ≤ на порядок ≥ и операций ∨, ∧
на операции ∧, ∨.
9
a) E1 ⊆ E2 ⇒ E2i ⊆ E1i ; E2s ⊆ E1s ; sup E1 ≤ sup E2 , inf E2 ≤ inf E1 .
b) Следующие три утверждения равносильны: x ≤ y; x = x ∧ y; y = x ∨ y .
                             ∨
                             n      ∨
                                    n      ∧
                                           n      ∧
                                                  n
c) xk ≤ yk (k = 1, ..., n) ⇒   xk ≤   yk ;   xk ≤   yk (сохранение порядка
                            k=1      k=1       k=1   k=1
точными границами).
d) Пусть E – семейство подмножеств у.м X и F = ∪{E : E ∈ E}. Тогда
sup F = ∨{sup E : E ∈ E}; inf F = ∧{inf E : E ∈ E} (ассоциативность
точных границ).
                                                           ∨
  Доказательство d). Обозначим yE = sup E, y =                 yE . Если x ∈ F ,
                                                           E∈E
то существует E ∈ E такое, что x ∈ E . Значит x ≤          yE ≤   y, y ∈ F s . Пусть
z ∈ F s . Так как E ⊂ F , то по a) F s ⊂ E s и z ∈ E s для любого E ∈ E . Значит
z ≥ yE (E ∈ E). Поэтому z ≥ y и, следовательно, y = sup F . Доказательство
для inf F аналогично.
  1.8. Приведём некоторые свойства изоморфизмов и антиизоморфизмов.
Пусть φ – изоморфизм, а ψ – антиизоморфизм. Тогда:
i) φ(E s ) = φ(E)s ; φ(E i ) = φ(E)i .
ii) φ(sup E) = sup φ(E); φ(inf E) = inf φ(E).
iii) ψ(E s ) = ψ(E)i ; ψ(E i ) = ψ(E)s .
iv) ψ(sup E) = inf ψ(E); ψ(inf E) = sup ψ(E).

  Доказательство i). Пусть z ∈ E s . Это означает x ≤ z для любого x ∈ E‘.
Тогда φ(x) ≤ φ(z) и значит φ(z) ∈ φ(E)s . Итак, φ(E s ) ⊂ φ(E)s . Обратно,
если ∀x ∈ E(φ(x) ≤ y), то φ(x) ≤ φ(φ−1 (y)). Поэтому x ≤ φ−1 (y) и φ−1 (y) ∈
E s , y = φ(φ−1 (y)) ∈ φ(E s ). Таким образом, φ(E)s ⊂ φ(E s ).
  ii) Пусть z = sup E ∈ E s ∩ E si . Так как любая биекция сохраняет пересече-
ния, то φ(z) ∈ φ(E s )∩φ(E si ). В силу i) φ(z) ∈ φ(E)s ∩φ(E)si и, следователь-
но, φ(z) = sup φ(E). Доказательства для антиизоморфизмов аналогичны.

  1.9. Принцип двойственности.Если в у.м справедливо утверждение,
использующее порядок ≤ и операции ∨, ∧, то справедливо и двойственное
утверждение, полученное заменой порядка ≤ на порядок ≥ и операций ∨, ∧
на операции ∧, ∨.


                                           9

Страницы