От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 11 стр.

в силу коммутативности ∧. Наконец, в силу ассоциативности ∧, отношение
≤ транзитивно: a ≤ b, b ≤ c ⇒ a = a ∧ b, b = b ∧ c ⇒ a = a ∧ (b ∧ c) =
(a ∧ b) ∧ c = a ∧ c.
  Покажем, что a ≤ b ⇔ b = a ∨ b. Действительно, a = a ∧ b влечет a ∨ b =
(a ∧ b) ∨ b = b в силу второй аксиомы поглощения. Обратно, b = a ∨ b влечет
a ∧ b = a ∧ (a ∨ b) = a в силу первой аксиомы поглощения.
  Наконец установим, что точные границы в смысле выше введенного поряд-
ка совпадают с алгебраическими.
  Пусть z = inf{a, b}. Тогда из z ≤ a, z ≤ b следует, что z = z ∧ a, z =
z ∧ b; z = a ∧ b ∧ z . Следовательно, z ≤ a ∧ b. С другой стороны, a ∧ b =
(a ∧ a) ∧ b = a ∧ (a ∧ b), то есть a ∧ b ≤ a. Аналогично a ∧ b ≤ b. Так как z –
наибольшая из нижних границ для a, b, то a ∧ b ≤ z . Итак, inf{a, b} = a ∧ b.
  Пусть u = sup{a, b}. Тогда u ≥ a, u ≥ b влечет u = a∨u, u = b∨u. Поэтому
u = u ∨ u = (a ∨ u) ∨ (b ∨ u) = (a ∨ b) ∨ u и u ≥ a ∨ b. С другой стороны, в
силу первой аксиомы поглощения a ∨ b ≥ a, a ∨ b ≥ b. Поэтому u ≤ a ∨ b как
наименьшая из верхних границ для {a, b}. Итак, sup{a, b} = a ∨ b. 

  2.3. Замечание. Алгебраическое определение решётки в 2.1 использует
шесть тождеств: четыре для коммутативности и ассоциативности для опе-
раций ∨ и ∧ плюс два тождества поглощения. Число тождеств (конечно,
за счет увеличения числа переменных в них входящих), задающих решётку
можно уменьшить: до двух (найдено Падманабханом в 1967 г.), до одного
(найдено Маккензи в 1970 г.)

  2.4. Пусть X, Y – решётки и φ : X → Y изоморфизм у.м. Тогда в силу
1.8. для любых x1 , x2 ∈ X

           φ(x1 ∨ x2 ) = φ(x1 ) ∨ φ(x2 ); φ(x1 ∧ x2 ) = φ(x1 ) ∧ φ(x2 ).    (∗)

  Обратно, если φ биекция X на Y , удовлетворяющая одному из условий
(∗), то φ есть изоморфизм X и Y как упорядоченных множеств. Пусть, на-
пример, выполнено первое равенство из (∗). Тогда x1 ≤ x2 ⇔ x2 = x1 ∨ x2 ⇔


                                        11