От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 13 стр.

по включению, является полной решёткой с наибольшим элементом L. При
этом решётка L вкладывается в J (L) с помощью отображения L ∋ x 7→
I(x) ∈ J (L).
  Доказательство. Пусть Iλ , λ ∈ Λ – семейство идеалов. Тогда
    inf{Iλ : λ ∈ Λ} = ∩{Iλ : λ ∈ Λ}, sup{Iλ : λ ∈ Λ} = I(∪{Iλ : λ ∈ Λ})

Далее отметим, что I(x) ∧ I(y) = I(x ∧ y) I(x) ∨ I(y) = I(x ∨ y). Поскольку
x ̸= y влечет I(x) ̸= I(y), то отображение L ∋ x 7→ I(x) ∈ J (L) есть
инъективный гомоморфизм, то есть вложение. 
  2.8. Двойственным к идеалу понятием является понятие фильтра (или ко-
идеала). Часть F решётки L называется фильтром, если
            j) a ∈ F, a ≤ b ∈ L ⇒ b ∈ F   jj) a, b ∈ F ⇒ a ∧ b ∈ F .
Из определения следует, что любой фильтр F является выпуклой подрешёт-
кой решётки L. Как и выше два утверждения j), jj) можно объединить в
одно:
             F – фильтр ⇔ ∀a, b ∈ L(a ∧ b ∈ F ⇔ a ∈ F, b ∈ F ).
Также существует наименьший фильтр F (H), содержащий H , для любого
подмножества H ⊆ L. Фильтр F (a) = F ({a}) = {x ∈ L : x ≥ a} = {x ∨ a :
x ∈ L} называется главным. Фильтр, отличный от L, называется собствен-
ным. Собственный фильтр F называется ультрафильтром, если a∨b ∈ F ⇒
a ∈ F или b ∈ F . Отметим, что F (a)∧F (b) = F (a∨b), F (a)∨F (b) = F (a∧b).
  Через F(L) обозначим множество всех фильтров решётки L. Тогда F(L),
упорядоченное по включению, является полной решеткой с наибольшим эле-
ментом L.
  2.9. Теорема. Пусть I – идеал, F – фильтр. Если I ∩ F ̸= ∅, то I ∩ F –
выпуклая подрешётка. Любая выпуклая подрешётка единственным образом
представима в таком виде.
  Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть H – выпуклая под-
решётка решётки L. Положим I = I(H), F = F (H). Тогда H ⊂ I ∩ F .
Далее, так как H подрешетка, то описание идеала, порожденного множе-

                                     13