От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 15 стр.

                  Рис. 1: Диамант (слева), пентагон и решётка (C2 )3


6 ◦ . Пусть x максимальный, z минимальный элемент в решётке L. Тогда
x = 1, а z = 0.
7 ◦ . Покажите, что в решётке L условие ∀E ⊂ L(sup E ∈ L) равносильно
условию ∀E ⊂ L(inf E ∈ L).
8 ◦ . Показать, что (EX, ⊆) есть полная решётка с 0 = ∆, 1 = X × X .
9 ◦ . Пусть X – множество, P(X) – семейство всех подмножеств множества
X , T X – множество всех топологий в X . Показать, что (T X, ⊆) есть полная
решётка с 0 = {∅, X}, 1 = P(X).
10 ◦ . Пусть L < a, b > – множество всех промежутков отрезка [a, b]. Показать,
что (L < a, b >, ⊆) есть полная решётка с 0 = ∅, 1= [a, b] (эта решётка
называется решеткой промежутков).
11 ◦ . Показать, что (OX, ⊆) есть ∧-полное у.м с 0 = ∆, не являющееся ре-
шёткой.
12 ◦ . Непустое семейство F подмножеств множества X называется фильтром
множеств, если
     f1) ∅ ̸∈ F ; f2) F ∈ F , F ⊂ G ⇒ G ∈ F ; f3) F, G ∈ F ⇒ F ∩ G ∈ F .
Пусть F X – семейство всех фильтров множеств в X . Показать, что (F X, ⊆)
есть ∧-полное у.м с 0 = {X}, не являющееся решёткой.
13 ◦ . Доказать, что алгебра (L, ∨, ∧) является решёткой тогда и только тогда,
когда в ней выполнены два тождества

                                  a = (b ∧ a) ∨ a,

          (((a ∧ b) ∧ c) ∨ d) ∨ e = (((b ∧ c) ∧ a) ∨ e) ∨ ((f ∨ d) ∧ d).

                                          15