От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 16 стр.

                         §3. Модулярные решётки


  3.1. Решётка L называется модулярной, если ∀x, y, z ∈ L

                       x ≤ z ⇒ x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z.                      M1

Заметим, что аксиома М1 является самодвойственной: если написать двой-
ственное утверждение, то получим ту же самую аксиому. Аксиома M1 рав-
носильна следующей аксиоме: ∀a, b, c ∈ L

                       a ∨ ((a ∨ b) ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)                   M2

Действительно, из M1 следует M2; достаточно положить x = a, z = a ∨ b, y =
c. Если же x ≤ z , то взяв в M2 a = x, b = z, c = y , получим x ∨ ((x ∨ z) ∧ y) =
x ∨ (z ∧ y) = (x ∨ z) ∧ (x ∨ y) = z ∧ (x ∨ y). Аналогично показывается, что
M1 равносильна аксиоме: ∀a, b, c ∈ L

                       a ∧ ((a ∧ b) ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)                   M3

Модулярны решётка M3 и решётка (C2 )3 ; пентагон N5 не модулярен.

  3.2. Теорема. Решётка L модулярна тогда и только тогда, когда она не
содержит подрешётки, изоморфной N5 .

  Доказательство. Если L не модулярна, то найдутся x, y, z ∈ L, x ≤ z
такие,что x ∨ (y ∧ z) < (x ∨ y) ∧ z . Тогда элементы {y ∧ z, y, x ∨ (y ∧ z), (x ∨
y) ∧ z, x ∨ y} образуют подрешётку в L, изоморфную N5 (см. рис. 2).
  Действительно, y ∧ z < x ∨ (y ∧ z) < (x ∨ y) ∧ z < x ∨ y, y ∧ z < y < x ∨ y , так
как предположение хотя бы одного равенства в приведенных соотношениях
приводит к противоречию. Например, если y ∧ z = x ∨ (y ∧ z), то x ≤ y ∧ z ,
откуда (x∨y)∧z = y∧z = x∨(y∧z). Противоречие. Наконец, y∨(x∨(y∧z)) =
(x ∨ y) ∨ (y ∧ z) = x ∨ y . 

  3.3. Теорема об изоморфизме. Пусть a, b – элементы модулярной ре-
шётки L. Тогда отображение φb : x 7→ x ∧ b является изоморфизмом от-
резка [a, a ∨ b] на отрезок [a ∧ b, b]. При этом обратным изоморфизмом
является отображение ψa : x 7→ x ∨ a.

                                        16