От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2: Решётка, изоморфная N
5
Доказательство. Достаточно установить, что ψ
a
(φ
b
(x)) = x для всех x ∈
[a, a∨b]. Действительно, тогда в силу принципа двойственности φ
b
(ψ
a
(x)) = x
для всех x ∈ [a∧b, b]. Таким образом, композиции неубывающих отображений
φ
b
, ψ
a
являются тождественными отображениями. Следовательно, φ
b
, ψ
a
–
изоморфизмы. Итак, пусть x ∈ [a, a ∨ b]. Тогда ψ
a
(φ
b
(x)) = (x ∧ b) ∨ a. Так
как a ≤ x, то применяя M1, получаем
ψ
a
(φ
b
(x)) = a ∨ (b ∧ x) = (a ∨ b) ∧ x = x,
поскольку x ≤ a ∨ b.
3.4. Следствие Пусть a, b – элементы модулярной решётки L. Тогда
для любых x, y ∈ [a∧b, b] выполняется равенство a∨(x∧y) = (a∨x)∧(a∨y).
Действительно, это равенство означает сохранение точных нижних граней
для отображения ψ
a
.
3.5. Теорема. Решётка нормальных подгрупп произвольной группы мо-
дулярна.
Доказательство. Напомним, что подгруппа M группы G называется нор-
мальной, если ∀x ∈ G(xM = Mx), где xM = {xm : m ∈ M}. Семейство
всех нормальных подгрупп группы G становится решёткой по включению с
0={e} и 1=G, причем M ∧ N = M ∩ N, M ∨ N = MN = NM . Аксиома M2
в рассматриваемом случае выглядит так: для любых нормальных подгрупп
M, N, P группы G справедливо равенство MN ∩ MP = M(MN ∩ P ).
17
                         Рис. 2: Решётка, изоморфная N5


  Доказательство. Достаточно установить, что ψa (φb (x)) = x для всех x ∈
[a, a∨b]. Действительно, тогда в силу принципа двойственности φb (ψa (x)) = x
для всех x ∈ [a∧b, b]. Таким образом, композиции неубывающих отображений
φb , ψa являются тождественными отображениями. Следовательно, φb , ψa –
изоморфизмы. Итак, пусть x ∈ [a, a ∨ b]. Тогда ψa (φb (x)) = (x ∧ b) ∨ a. Так
как a ≤ x, то применяя M1, получаем
                  ψa (φb (x)) = a ∨ (b ∧ x) = (a ∨ b) ∧ x = x,
поскольку x ≤ a ∨ b.

  3.4. Следствие Пусть a, b – элементы модулярной решётки L. Тогда
для любых x, y ∈ [a∧b, b] выполняется равенство a∨(x∧y) = (a∨x)∧(a∨y).

  Действительно, это равенство означает сохранение точных нижних граней
для отображения ψa . 

  3.5. Теорема. Решётка нормальных подгрупп произвольной группы мо-
дулярна.

  Доказательство. Напомним, что подгруппа M группы G называется нор-
мальной, если ∀x ∈ G(xM = M x), где xM = {xm : m ∈ M }. Семейство
всех нормальных подгрупп группы G становится решёткой по включению с
0={e} и 1=G, причем M ∧ N = M ∩ N, M ∨ N = M N = N M . Аксиома M2
в рассматриваемом случае выглядит так: для любых нормальных подгрупп
M, N, P группы G справедливо равенство M N ∩ M P = M (M N ∩ P ).

                                       17

Страницы