От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пусть a ∈ MN ∩ MP, a = x
1
y = x
2
z , где x
1
, x
2
∈ M, y ∈ N, z ∈ P . Тогда
z = x
−1
2
x
1
y ∈ MN ∩P и a = x
2
(x
−1
2
x
1
y) ∈ M(MN ∩P ). Значит MN ∩MP ⊂
M(MN ∩ P ). Пусть a ∈ M(MN ∩ P ), a = xh, x ∈ Mh ∈ MN ∩ P . Тогда
h ∈ P и a ∈ MP . Так как h ∈ MN , то h = x
1
y
1
, x
1
∈ M, y
1
∈ N и значит
a = xx
1
y
1
∈ MN . Следовательно, a ∈ MN ∩ MP, M(MN ∩P ) ⊂ MN ∩MP .
3.6. Следствие. Решётка подпространств вещественного конечномер-
ного векторного пространства модулярна.
Доказательство. Вещественное конечномерное векторное пространство
является коммутативной группой по сложению. Следовательно, любая ее под-
группа нормальна. Но каждая ее подгруппа является подпространством (и,
очевидно, наоборот). По теореме 3.5 получаем утверждение следствия.
14
◦
. Решётка L модулярна тогда и только тогда, когда L удовлетворяет тож-
деству x ∧ (y ∨ z) = x ∧ ((y ∧ (x ∨ z)) ∨ z) для любых x, y, z ∈ L.
15
◦
. Показать, что решётка L модулярна тогда и только тогда, когда x ∧(y ∨
z) ≤ y ∨ ((x ∨ y) ∧ z) для любых x, y, z ∈ L.
16
◦
. Доказать, что решётка L модулярна тогда и только тогда, когда (x ∨
(y ∧ z)) ∧ (y ∨ z) = (x ∧ (y ∨ z)) ∨ (y ∧ z) для любых x, y, z ∈ L.
§4. Дистрибутивные решётки
4.1. Решётка L называется дистрибутивной, если ∀x, y, z ∈ L
(x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z). D1
Покажем, что аксиома дистрибутивности D1 равносильна следующей аксио-
ме: ∀x, y, z ∈ L
(x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z). D2
D1 ⇒ D2: Используя D1 и второй закон поглощения имеем (x ∨ z) ∧ (y ∨ z) =
[(x ∨ z) ∧ y] ∨ [(x ∨ z) ∧ z] = (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (x ∧ z) ∨ z = (x ∧ y) ∨ z.
18
    Пусть a ∈ M N ∩ M P, a = x1 y = x2 z , где x1 , x2 ∈ M, y ∈ N, z ∈ P . Тогда
z = x−1                          −1
     2 x1 y ∈ M N ∩ P и a = x2 (x2 x1 y) ∈ M (M N ∩ P ). Значит M N ∩ M P ⊂
M (M N ∩ P ). Пусть a ∈ M (M N ∩ P ), a = xh, x ∈ M h ∈ M N ∩ P . Тогда
h ∈ P и a ∈ M P . Так как h ∈ M N , то h = x1 y1 , x1 ∈ M, y1 ∈ N и значит
a = xx1 y1 ∈ M N . Следовательно, a ∈ M N ∩ M P, M (M N ∩ P ) ⊂ M N ∩ M P .

    3.6. Следствие. Решётка подпространств вещественного конечномер-
ного векторного пространства модулярна.

    Доказательство. Вещественное конечномерное векторное пространство
является коммутативной группой по сложению. Следовательно, любая ее под-
группа нормальна. Но каждая ее подгруппа является подпространством (и,
очевидно, наоборот). По теореме 3.5 получаем утверждение следствия.

14 ◦ . Решётка L модулярна тогда и только тогда, когда L удовлетворяет тож-
деству x ∧ (y ∨ z) = x ∧ ((y ∧ (x ∨ z)) ∨ z) для любых x, y, z ∈ L.
15 ◦ . Показать, что решётка L модулярна тогда и только тогда, когда x ∧ (y ∨
z) ≤ y ∨ ((x ∨ y) ∧ z) для любых x, y, z ∈ L.
16 ◦ . Доказать, что решётка L модулярна тогда и только тогда, когда (x ∨
(y ∧ z)) ∧ (y ∨ z) = (x ∧ (y ∨ z)) ∨ (y ∧ z) для любых x, y, z ∈ L.



                       §4. Дистрибутивные решётки


4.1. Решётка L называется дистрибутивной, если ∀x, y, z ∈ L

                         (x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z).                         D1

Покажем, что аксиома дистрибутивности D1 равносильна следующей аксио-
ме: ∀x, y, z ∈ L
                         (x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z).                         D2
D1 ⇒ D2: Используя D1 и второй закон поглощения имеем (x ∨ z) ∧ (y ∨ z) =
[(x ∨ z) ∧ y] ∨ [(x ∨ z) ∧ z] = (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (x ∧ z) ∨ z = (x ∧ y) ∨ z .

                                         18

Страницы