От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

((a
2
∧ v
2
) ∨ a
1
) ∧ v
1
= (a
2
∧ v
2
) ∨ (a
1
) ∧ v
1
). Так как a
1
≤ v
2
то снова по М1
a
1
∨(a
2
∧v
2
) = (a
1
∨a
2
)∧v
2
) и значит [a
1
∨(a
2
∧v
2
)]∧v
1
= v
3
∧v
2
∧v
1
= v. Итак,
мы получили (a
1
)∧v
1
)∨(a
2
)∧v
2
) = v. Далее b
1
∨b
2
= [u
1
∨(a
1
∧v
1
)]∨[u
2
∨(a
2
∧
v
2
)] = u
1
∨u
2
∨v = v поскольку все u
i
≤ v. Аналогично,b
1
∨b
3
= v, b
2
∨b
3
= v.
Такие же рассуждения приводят к тому, что b
1
∧ b
2
= b
1
∧ b
3
= b
2
∧ b
3
= u.
Следовательно, по (∗∗) b
1
= b
2
= b
3
= u = v. Далее a
1
∨ u
1
≥ (a
1
∧ v
1
) ∨ u
1
=
b
1
= b
2
= (a
2
∧ v
2
) ∨ u
2
≥ a
2
∧ v
2
или a
1
∨ (a
2
∧ a
3
) ≥ a
2
∧ (a
1
∨ a
3
). Поэтому
a
2
∧ (a
1
∨ a
3
) = [(a
1
∨ a
3
) ∧ a
2
] ∧ a
2
≤ [(a
2
∧ a
3
) ∨ a
1
] ∧ a
2
= (a
2
∧ a
3
) ∨ (a
1
∧ a
2
).
В последнем равенстве мы использовали М1, так как a
2
∧ a
3
≤ a
2
. Обратное
неравенство a
2
∧ (a
1
∨ a
3
) ≥ (a
2
∧ a
3
) ∨ (a
1
∧ a
2
) очевидно.
4.4. Следствие. Решётка L дистрибутивна тогда и только тогда, когда
она не имеет подрешёток, изоморфных N
5
или M
3
.
4.5. Следствие. Решётка L дистрибутивна тогда и только тогда, когда
(x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (z ∧ x) = (x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (z ∨ x)
для любых x, y, z ∈ L.
Доказательство. Необходимость. Применяя сначала D2, а затем D1, имеем
(x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (z ∨ x) = [y ∨ (x ∧ z)] ∧ (z ∨ x) = [y ∧ (z ∨ x)] ∨ (x ∧ z) =
(y ∧ z) ∨ (y ∧ x) ∨ (x ∧ z).
Достаточность. Допустим, что a ∨ b = a ∨ c, a ∧ b = a ∧ c. Тогда равенство
(a ∨ b) ∧ (b ∨ c) ∧ (c ∨ a) = (a ∧ b) ∨ (b ∧ c) ∨ (c ∧ a) примет вид (a ∨ b) ∧ (b ∨ c) =
(a∧b)∨(b∧c). Но левая часть этого равенства ≥ b, а правая ≤ b. Аналогично,
c ≤ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c) = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≤ c. Следовательно, b = c. Теорема 4.3
завершает доказательство.
17
◦
. Рассмотрим множество F C(a, b) всех конечных цепей, лежащих в отрез-
ке [a, b] у.м X (a ∈ X, b ∈ X, a < b). Показать, что (F C(a, b), ⊆) является
дистрибутивной решёткой с наменьшим элементом 0 = {a, b}.
18
◦
. Показать, что решётка промежутков L < a, b > не дистрибутивна.
20
((a2 ∧ v2 ) ∨ a1 ) ∧ v1 = (a2 ∧ v2 ) ∨ (a1 ) ∧ v1 ). Так как a1 ≤ v2 то снова по М1
a1 ∨(a2 ∧v2 ) = (a1 ∨a2 )∧v2 ) и значит [a1 ∨(a2 ∧v2 )]∧v1 = v3 ∧v2 ∧v1 = v . Итак,
мы получили (a1 )∧v1 )∨(a2 )∧v2 ) = v . Далее b1 ∨b2 = [u1 ∨(a1 ∧v1 )]∨[u2 ∨(a2 ∧
v2 )] = u1 ∨u2 ∨v = v поскольку все ui ≤ v . Аналогично,b1 ∨b3 = v, b2 ∨b3 = v .
Такие же рассуждения приводят к тому, что b1 ∧ b2 = b1 ∧ b3 = b2 ∧ b3 = u.
Следовательно, по (∗∗) b1 = b2 = b3 = u = v . Далее a1 ∨ u1 ≥ (a1 ∧ v1 ) ∨ u1 =
b1 = b2 = (a2 ∧ v2 ) ∨ u2 ≥ a2 ∧ v2 или a1 ∨ (a2 ∧ a3 ) ≥ a2 ∧ (a1 ∨ a3 ). Поэтому
a2 ∧ (a1 ∨ a3 ) = [(a1 ∨ a3 ) ∧ a2 ] ∧ a2 ≤ [(a2 ∧ a3 ) ∨ a1 ] ∧ a2 = (a2 ∧ a3 ) ∨ (a1 ∧ a2 ).
В последнем равенстве мы использовали М1, так как a2 ∧ a3 ≤ a2 . Обратное
неравенство a2 ∧ (a1 ∨ a3 ) ≥ (a2 ∧ a3 ) ∨ (a1 ∧ a2 ) очевидно. 

  4.4. Следствие. Решётка L дистрибутивна тогда и только тогда, когда
она не имеет подрешёток, изоморфных N5 или M3 .

  4.5. Следствие. Решётка L дистрибутивна тогда и только тогда, когда

              (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (z ∧ x) = (x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (z ∨ x)

для любых x, y, z ∈ L.

  Доказательство. Необходимость. Применяя сначала D2, а затем D1, имеем
(x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (z ∨ x) = [y ∨ (x ∧ z)] ∧ (z ∨ x) = [y ∧ (z ∨ x)] ∨ (x ∧ z) =
(y ∧ z) ∨ (y ∧ x) ∨ (x ∧ z).
  Достаточность. Допустим, что a ∨ b = a ∨ c, a ∧ b = a ∧ c. Тогда равенство
(a ∨ b) ∧ (b ∨ c) ∧ (c ∨ a) = (a ∧ b) ∨ (b ∧ c) ∨ (c ∧ a) примет вид (a ∨ b) ∧ (b ∨ c) =
(a∧b)∨(b∧c). Но левая часть этого равенства ≥ b, а правая ≤ b. Аналогично,
c ≤ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c) = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≤ c. Следовательно, b = c. Теорема 4.3
завершает доказательство. 

17 ◦ . Рассмотрим множество F C(a, b) всех конечных цепей, лежащих в отрез-
ке [a, b] у.м X (a ∈ X, b ∈ X, a < b). Показать, что (F C(a, b), ⊆) является
дистрибутивной решёткой с наменьшим элементом 0 = {a, b}.
18 ◦ . Показать, что решётка промежутков L < a, b > не дистрибутивна.



                                             20

Страницы