От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 21 стр.

19 ◦ . Показать, что решётка кусочно-линейных функций на отрезке [a, b] с
поточечным порядком дистрибутивна.
20 ◦ . Показать, что решётка C[a, b] непрерывных функций на отрезке [a, b] с
поточечным порядком дистрибутивна.
21 ◦ . Показать, что решётки EX и T X не дистрибутивны.
22 ◦ . Пусть L – дистрибутивная решётка и a ≤ b, x ≤ y для некоторых
a, b, x, y ∈ L. Доказать, что
                         x ∧ a = y ∧ a, x ∨ b = y ∨ b ⇔
                    ∃p, q ∈ L[x = (a ∨ p) ∧ q, y = (b ∨ p) ∧ q]



                           §5. Свободные решётки


  5.1 Обозначим через L, M, D классы (многообразия) всех, всех модуляр-
ных и всех дистрибутивных решёток соответственно. Пусть K один из этих
классов, P – у.м. Решётка FK (P ) называется свободной решёткой в классе
K, порожденной у.м P , если выполнены следующие условия:
  (1)FK (P ) ∈ K;

  (2) P ⊆ FK (P ) и если sup{a, b}, inf{c, d} в у.м P существуют, то они долж-
ны совпадать с a ∨ b, c ∧ d решётки FK (P );

  (3)L(P ) = FK (P );

  (4) Пусть L ∈ K и φ : P → L отображение сохраняющее порядок такое,
что если sup{a, b}, inf{c, d} в у.м P существуют, то φ(sup{a, b}) = φ(a) ∨
φ(b), φ(inf{c, d}) = φ(c) ∧ φ(d). Тогда отображение φ можно продолжить до
решёточного гомоморфизма ψ : FK (P ) → L.

  5.2. Замечание. Гомоморфизм ψ в условии (4)единственен. Свободная
решетка FK (P ) единственна с точностью до изоморфизма.
  5.3. Лемма. Пусть x, y, z такие элементы решётки L, что x ∨ y, y ∨
z, z ∨ x попарно несравнимы. Тогда элементы x ∨ y, y ∨ z, z ∨ x порождают


                                        21