От решёток к булевым алгебрам. Султанбеков Ф.Ф. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

D2 ⇒ D1: Используя D2 и первый закон поглощения имеем (x∧z)∨(y ∧z) =
[x ∨ (y ∧ z)] ∧ [z ∨ (y ∧ z)] = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) ∧ (z ∨ y) ∧ z = (x ∨ y) ∧ z .
4.2. Приведем характеризацию дистрибутивности в терминах неравенств.
Решётка L дистрибутивна тогда и только тогда, когда ∀x, y, z ∈ L
(x ∨ y) ∧ z ≤ x ∨ (y ∧ z) (iN)
Действительно, применяя D2, имеем x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) ≥ (x ∨
y) ∧ z , так как x ∨ z ≥ z . Значит D2 влечет (iN). Обратно, пусть неравенство
(iN)истинно на L. Применим его дважды: для x = a, y = b, z = a ∨ c и
получим (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ≤ a ∨ (b ∧ (a ∨ c)). Затем для x = a, y = c, z = b и
получим (a ∨ c) ∧ b ≤ a ∨ (c ∧ b). Таким образом справедливо неравенство
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ≤ a ∨ (a ∨ (c ∧ b)) = a ∨ (c ∧ b)
Обратное неравенство (a∨b)∧(a∨c) ≥ a∨(c∧b) очевидно. Следовательно,(iN)
влечет D2.
4.3. Теорема. Решётка L дистрибутивна тогда и только тогда, когда
∀x, y, z ∈ X
x ∨ y = x ∨ z, x ∧ y = x ∧ z ⇒ y = z. (∗∗)
Доказательство.Необходимость. Применяя D1, получим y = y ∧ (x ∨ y) =
y ∧ (x ∨ z) = (y ∧ x) ∨ (y ∧ z) = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z = (x ∨ z) ∧ z = z .
Достаточность. Покажем, что решётка L модулярна. Предположим про-
тивное. Тогда в L найдутся x, y, z такие, что x ≤ y и u = x ∨ (z ∧ y) <
(x ∨ z) ∨ y = v . Отсюда следует, что x ≤ u < v ≤ y, z ∧ v ≤ z ∧ y ≤ u. Поэто-
му z ∧v ≤ z ∧u. Но так как u ≤ v , то z ∧u ≤ z ∧ v . Итак, z ∧u = z ∧v . Далее
z ∨ u ≥ z ∨ x ≥ v, поэтому z ∨ u ≥ z ∨ v. Снова u ≤ v влечет z ∨ u ≤ z ∨ v .
Значит z ∨ u = z ∨ v . В силу (∗∗) u = v , противоречие.
Рассмотрим элементы u
1
= a
2
∨ a
3
, u
2
= a
1
∨ a
3
, u
3
= a
1
∨ a
2
, а также
элементы v
1
= a
2
∧ a
3
, v
2
= a
1
∧ a
3
, v
3
= a
1
∧ a
2
. Так как u
i
≤ v
i
, то в
силу модулярности М1 имеем (u
i
∨ a
i
) ∧ v
i
= u
i
∨ (a
i
) ∧ v
i
) = b
i
(i = 1, 2, 3).
Положим u = u
1
∨ u
2
∨ u
3
, v = v
1
∨ v
2
∨ v
3
. Так как a
2
∧ v
2
≤ v
1
, то в силу М1
19
D2 ⇒ D1: Используя D2 и первый закон поглощения имеем (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) =
[x ∨ (y ∧ z)] ∧ [z ∨ (y ∧ z)] = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) ∧ (z ∨ y) ∧ z = (x ∨ y) ∧ z .

  4.2. Приведем характеризацию дистрибутивности в терминах неравенств.
Решётка L дистрибутивна тогда и только тогда, когда ∀x, y, z ∈ L

                             (x ∨ y) ∧ z ≤ x ∨ (y ∧ z)                            (iN)

Действительно, применяя D2, имеем x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) ≥ (x ∨
y) ∧ z , так как x ∨ z ≥ z . Значит D2 влечет (iN). Обратно, пусть неравенство
(iN)истинно на L. Применим его дважды: для x = a, y = b, z = a ∨ c и
получим (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ≤ a ∨ (b ∧ (a ∨ c)). Затем для x = a, y = c, z = b и
получим (a ∨ c) ∧ b ≤ a ∨ (c ∧ b). Таким образом справедливо неравенство

                (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ≤ a ∨ (a ∨ (c ∧ b)) = a ∨ (c ∧ b)

Обратное неравенство (a∨b)∧(a∨c) ≥ a∨(c∧b) очевидно. Следовательно,(iN)
влечет D2.

  4.3. Теорема. Решётка L дистрибутивна тогда и только тогда, когда
∀x, y, z ∈ X
                     x ∨ y = x ∨ z, x ∧ y = x ∧ z ⇒ y = z.                        (∗∗)

  Доказательство.Необходимость. Применяя D1, получим y = y ∧ (x ∨ y) =
y ∧ (x ∨ z) = (y ∧ x) ∨ (y ∧ z) = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z = (x ∨ z) ∧ z = z .
  Достаточность. Покажем, что решётка L модулярна. Предположим про-
тивное. Тогда в L найдутся x, y, z такие, что x ≤ y и u = x ∨ (z ∧ y) <
(x ∨ z) ∨ y = v . Отсюда следует, что x ≤ u < v ≤ y, z ∧ v ≤ z ∧ y ≤ u. Поэто-
му z ∧ v ≤ z ∧ u. Но так как u ≤ v , то z ∧ u ≤ z ∧ v . Итак, z ∧ u = z ∧ v . Далее
z ∨ u ≥ z ∨ x ≥ v , поэтому z ∨ u ≥ z ∨ v . Снова u ≤ v влечет z ∨ u ≤ z ∨ v .
Значит z ∨ u = z ∨ v . В силу (∗∗) u = v , противоречие.
  Рассмотрим элементы u1 = a2 ∨ a3 , u2 = a1 ∨ a3 , u3 = a1 ∨ a2 , а также
элементы v1 = a2 ∧ a3 , v2 = a1 ∧ a3 , v3 = a1 ∧ a2 . Так как ui ≤ vi , то в
силу модулярности М1 имеем (ui ∨ ai ) ∧ vi = ui ∨ (ai ) ∧ vi ) = bi (i = 1, 2, 3).
Положим u = u1 ∨ u2 ∨ u3 , v = v1 ∨ v2 ∨ v3 . Так как a2 ∧ v2 ≤ v1 , то в силу М1

                                         19

Страницы